PROPOSICIÓN 3 LIBRO XII

Proposición 3. Toda pirámide que tenga como base un triángulo se divide en dos pirámides iguales, semejantes una a la otra y a la pirámide entera, que tienen triángulos como base, y se divide en dos prismas iguales; y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

java applet or image

Cualquier pirámide de base triangular se divide en dos pirámides iguales y semejantes una a la otra, semejantes a la pirámide entera, y de base triangular también, y en dos prismas iguales, y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera. Sea pues la pirámide de base triangular ABC y vértice D.
Digo que la pirámide ABCD se divida en dos pirámides iguales una a otra, con bases triangulares y semejantes a la pirámide entera, y se divida en dos prismas iguales, y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.
Biseccionar AB, BC, CA, AD, DB y DC por los puntos E, F, G, H, K y L. Trazar HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF y FG.
Dado que AE es igual a EB, y AH es igual a DH, entonces EH es paralelo a DB. Por la misma razón HK es también paralelo a AB. Por lo tanto HEBK es un paralelogramo.[VI 2]. Por lo tanto HK es igual a EB. [I 34].
Pero EB es igual a EA, entonces AE es también igual a HK.
Pero AH es también igual a HD, entonces los dos lados EA y AH son iguales a los dos lados KH y HD respectivamente, y el ángulo EAH es igual al ángulo KHD, entonces la base EH es igual a la base KD. [I 4].
Por lo tanto el triángulo AEH es igual y semejante al triángulo HKD. Por la misma razón el triángulo AHG es también igual y semejante al triángulo HLD.
Ahora, dado que las dos líneas rectas EH y HG se tocan y son paralelas a las dos líneas rectas que se tocan KD y DL y no están en el mismo plano, entonces comprenden ángulos iguales. Por lo tanto el ángulo EHG es igual al ángulo KDL. [XI 10].
Y, dado que las dos líneas rectas EH y HG son iguales a KD y DL respectivamente, y el ángulo EHG es igual al ángulo KDL, entonces la base EG es igual a la base KL. Por lo tanto el triángulo EHG es igual y semejante al triángulo KDL. Por la misma razón el triángulo AEG es también igual y semejante al triángulo HKL. [I 4].
Por lo tanto la pirámide con base triangular AEG y vértice H es igual y semejante a la pirámide con base triangular HKL y vértice D. [XI Def. 10].
Y, dado que HK es paralelo a AB, uno de los lados del triángulo ADB, el triángulo ADB es equiangular con el triángulo DHK, y tienen sus lados proporcionales, por lo tanto el triángulo ADB es semejante al triángulo DHK.[I 29]. Por la misma razón el triángulo DBC es también similar al triángulo DKL, y el triángulo ADC es semejante al triángulo DLH. [VI Def. 1].
Ahora, dado que las dos líneas rectas BA y AC se tocan una a la otra y son paralelas a las dos líneas rectas KH y HL que se tocan una a otra y no están en el mismo plano, por lo tanto comprenden ángulos iguales. Por lo tanto el ángulo BAC es igual al ángulo KHL. [XI 10].
Y Ba es a AC como KH es a HL, por lo tanto el triángulo ABC es semejante al triángulo HKL.
Por lo tanto la pirámide con base triangular ABC y vértice D es semejante a la pirámide con base triangular HKL y vértice D.
Pero la pirámide con base triangular HKL y vértice D se ha demostrado que es semejante a la pirámide con base triangular AEG y vértice H. Por lo tanto cada una de las pirámides AEGH y HKLD es semejante a la pirámide entera ABCD.
Luego, dado que BF es igual a FC, entonces el paralelogramo EBFG es doble del triángulo GFC. Y dado que, si hay dos prismas de igual altura, y uno de ellos tiene un paralelogramo como base y el otro de base un triángulo, y si el paralelogramo es doble del triángulo, entonces los prismas son iguales. Por lo tanto el prisma está contenido por los dos triángulos BKF y EHG, y los tres paralelogramos EBFG, EBKH y HKFG son iguales al prisma contenido por los dos triángulos GFC y HKL y los tres paralelogramos KFCL, LCGH y HKFG. [XI 39].
Y está claro que cada uno de los prismas; a saber, el que tiene de base el paralelogramo EBFG y la recta opuesta HK, y el que tiene de base el triángulo GFC y el triángulo opuesto HKL, es mayor que cada una de las pirámides con bases triangulares AEG y HKL y vértices H y D, porque, si trazamos las líneas rectas EF y EK, el prisma de base el paralelogramo EBFG y la recta opuesta HK es mayor que la pirámide con base triangular EBF y vértice K.
Pero la pirámide con base triangular EBF y vértice A es igual a la pirámide con base triangular AEG y vértice H, porque están comprendidas por planos iguales y semejantes.
De ahí que el prisma de base el paralelogramo EBFG y recta opuesta HK es mayor que la pirámide con la base triangular AEG y vértice H.
Pero el prisma con base el paralelogramo EBFG y recta opuesta HK es igual al prisma con base triangular GFC y triángulo opuesto HKL, y la pirámide con base triangular AEG y vértice H es igual a la pirámide con base triangular HKL y vértice D.
Por lo tanto los dos prismas antedichos son mayores que las dos pirámides antedichas de bases triangulares AEG y HKL y vértices H y D. Por lo tanto la pirámide entera con base triangular ABC y vértice D ha sido dividida en dos pirámides iguales una a la otra y en dos prismas, y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.
Por lo tanto, una pirámide con base triangular ha sido dividida en dos pirámides iguales y semejantes una a otra, semejantes a la pirámide entera, y con bases triangulares, y en dos prismas iguales, y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.
Q.E.D.


Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org