Cualquier pirámide de base triangular se divide en dos pirámides
iguales y semejantes una a la otra, semejantes a la pirámide
entera, y de base triangular también, y en dos prismas iguales,
y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide
entera. Sea pues la pirámide de base triangular ABC y vértice
D.
Digo que la pirámide ABCD se divida en dos pirámides
iguales una a otra, con bases triangulares y semejantes a la pirámide
entera, y se divida en dos prismas iguales, y los dos prismas son
mayores que la mitad de la pirámide entera.
Biseccionar AB, BC, CA, AD, DB y DC por los puntos E, F, G, H, K
y L. Trazar HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF y FG.
Dado que AE es igual a EB, y AH es igual a DH, entonces EH es paralelo
a DB. Por la misma razón HK es también paralelo a
AB. Por lo tanto HEBK es un paralelogramo.[VI 2]. Por lo tanto HK
es igual a EB. [I 34].
Pero EB es igual a EA, entonces AE es también igual a HK.
Pero AH es también igual a HD, entonces los dos lados EA
y AH son iguales a los dos lados KH y HD respectivamente, y el ángulo
EAH es igual al ángulo KHD, entonces la base EH es igual
a la base KD. [I 4].
Por lo tanto el triángulo AEH es igual y semejante al triángulo
HKD. Por la misma razón el triángulo AHG es también
igual y semejante al triángulo HLD.
Ahora, dado que las dos líneas rectas EH y HG se tocan y
son paralelas a las dos líneas rectas que se tocan KD y DL
y no están en el mismo plano, entonces comprenden ángulos
iguales. Por lo tanto el ángulo EHG es igual al ángulo
KDL. [XI 10].
Y, dado que las dos líneas rectas EH y HG son iguales a KD
y DL respectivamente, y el ángulo EHG es igual al ángulo
KDL, entonces la base EG es igual a la base KL. Por lo tanto el
triángulo EHG es igual y semejante al triángulo KDL.
Por la misma razón el triángulo AEG es también
igual y semejante al triángulo HKL. [I 4].
Por lo tanto la pirámide con base triangular AEG y vértice
H es igual y semejante a la pirámide con base triangular
HKL y vértice D. [XI Def. 10].
Y, dado que HK es paralelo a AB, uno de los lados del triángulo
ADB, el triángulo ADB es equiangular con el triángulo
DHK, y tienen sus lados proporcionales, por lo tanto el triángulo
ADB es semejante al triángulo DHK.[I 29]. Por la misma razón
el triángulo DBC es también similar al triángulo
DKL, y el triángulo ADC es semejante al triángulo
DLH. [VI Def. 1].
Ahora, dado que las dos líneas rectas BA y AC se tocan una
a la otra y son paralelas a las dos líneas rectas KH y HL
que se tocan una a otra y no están en el mismo plano, por
lo tanto comprenden ángulos iguales. Por lo tanto el ángulo
BAC es igual al ángulo KHL. [XI 10].
Y Ba es a AC como KH es a HL, por lo tanto el triángulo ABC
es semejante al triángulo HKL.
Por lo tanto la pirámide con base triangular ABC y vértice
D es semejante a la pirámide con base triangular HKL y vértice
D.
Pero la pirámide con base triangular HKL y vértice
D se ha demostrado que es semejante a la pirámide con base
triangular AEG y vértice H. Por lo tanto cada una de las
pirámides AEGH y HKLD es semejante a la pirámide entera
ABCD.
Luego, dado que BF es igual a FC, entonces el paralelogramo EBFG
es doble del triángulo GFC. Y dado que, si hay dos prismas
de igual altura, y uno de ellos tiene un paralelogramo como base
y el otro de base un triángulo, y si el paralelogramo es
doble del triángulo, entonces los prismas son iguales. Por
lo tanto el prisma está contenido por los dos triángulos
BKF y EHG, y los tres paralelogramos EBFG, EBKH y HKFG son iguales
al prisma contenido por los dos triángulos GFC y HKL y los
tres paralelogramos KFCL, LCGH y HKFG. [XI 39].
Y está claro que cada uno de los prismas; a saber, el que
tiene de base el paralelogramo EBFG y la recta opuesta HK, y el
que tiene de base el triángulo GFC y el triángulo
opuesto HKL, es mayor que cada una de las pirámides con bases
triangulares AEG y HKL y vértices H y D, porque, si trazamos
las líneas rectas EF y EK, el prisma de base el paralelogramo
EBFG y la recta opuesta HK es mayor que la pirámide con base
triangular EBF y vértice K.
Pero la pirámide con base triangular EBF y vértice
A es igual a la pirámide con base triangular AEG y vértice
H, porque están comprendidas por planos iguales y semejantes.
De ahí que el prisma de base el paralelogramo EBFG y recta
opuesta HK es mayor que la pirámide con la base triangular
AEG y vértice H.
Pero el prisma con base el paralelogramo EBFG y recta opuesta HK
es igual al prisma con base triangular GFC y triángulo opuesto
HKL, y la pirámide con base triangular AEG y vértice
H es igual a la pirámide con base triangular HKL y vértice
D.
Por lo tanto los dos prismas antedichos son mayores que las dos
pirámides antedichas de bases triangulares AEG y HKL y vértices
H y D. Por lo tanto la pirámide entera con base triangular
ABC y vértice D ha sido dividida en dos pirámides
iguales una a la otra y en dos prismas, y los dos prismas son mayores
que la mitad de la pirámide entera.
Por lo tanto, una pirámide con base triangular ha sido dividida
en dos pirámides iguales y semejantes una a otra, semejantes
a la pirámide entera, y con bases triangulares, y en dos
prismas iguales, y los dos prismas son mayores que la mitad de la
pirámide entera.
Q.E.D.
