Sean los círculos ABCD y EFGH, y sean BD y FH sus diámetros.
Yo digo que el círculo ABCD es al círculo EFGH como
el cuadrado de BD es al cuadrado de FH.
Porque, si el cuadrado de BD no es al cuadrado de FH como el círculo
ABCD es al círculo EFGH, entonces como el cuadrado de BD
es al cuadrado de FH, el círculo ABCD es o a un área
menor que el círculo EFGH o a un área mayor.
En primer lugar, sea esa razón a un área S.
Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH. Entonces
el cuadrado inscrito es mayor que la mitad del círculo EFGH,
porque si trazamos las tangentes al círculo que pasan por
los puntos E, F, G y H , entonces el cuadrado EFGH es la mitad del
cuadrado circunscrito al círculo, y el círculo es
menor que el cuadrado circunscrito, de ahí que el cuadrado
inscrito EFGH sea mayor que la mitad del círculo EFGH. [IV
6] [III 17].
Biseccionamos las circunferencias EF, FG, GH y HE por los puntos
K, L, M y N. Trazamos EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN y NE.
Por lo tanto cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH y HNE
es también mayor que la mitad del segmento del círculo
en que se halla porque si trazamos las tangentes al círculo
que pasan por los puntos K, L , M y N y completamos los paralelogramos
sobre las rectas EF, FG, GH y HE, entonces cada uno de los triángulos
EKF, FLG, GMH, y HNE es la mitad del paralelogramo en que se halla,
mientras el segmento en que se halla es menor que el paralelogramo,
de ahí que cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH,
y HNE sea mayor que la mitad del segmento del círculo en
que se halla. [III 17].
Entonces, si biseccionamos las circunferencias restantes y trazamos
líneas rectas, y procedemos así repetidamente, dejaremos
algunos segmentos del círculo que serán menores que
el exceso con que el círculo EFGH excede al área S.
Porque se ha demostrado en el primer teorema del Libro X que si
de dos magnitudes desiguales se quita de la mayor una magnitud mayor
que su mitad, y de la que queda se quita una magnitud mayor que
su mitad, y así sucesivamente, entonces quedará una
magnitud más pequeña que la magnitud menor dada. [X1].
Sean los segmentos como se ha descrito, y sean los segmentos del
círculo EFGH en EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN y NE menores que
el exceso con el que el círculo EFGH excede al área
S.
Entonces, el polígono restante EKFLGMHN es mayor que el área
S.
Ahora inscribir en el círculo ABCD el polígono AOBPCQDR
semejante al polígono EKFLGMHN.
Entonces el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el polígono
AOBPCQDR es al polígono EKFLGMHN. [XII 1].
Pero el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el círculo
ABCD es al área S, entonces el círculo ABCD es al
área S como el polígono AOBPCQDR es al polígono
EKFLGMHN. [V 11]. Entonces, por alternancia el círculo ABCD
es al polígono inscrito en él como el área
S es al polígono EKFLGMHN.[V 16].
Pero el círculo ABCD es mayor que el polígono inscrito
en él, entonces el área S es también mayor
que el polígono EKFLGMHN. Pero también es menor, lo
cual es imposible. Entonces el cuadrado de BD es al cuadrado de
FH como el círculo ABCD no es a un área menor que
el círculo EFGH. De manera semejante podemos demostrar que
el círculo EFGH tampoco es a un área menor que el
círculo ABCD como el cuadrado de FH es al cuadrado de BD.
Yo digo ahora que ni uno ni otro es el círculo ABCD a un
área mayor que el círculo EFGH como el cuadrado de
BD es al cuadrado de FH.
Porque si fuera posible, séalo en una razón a un área
mayor que S. Entonces, inversamente el cuadrado de FH es al cuadrado
de DB como el área S es al círculo ABCD.
Pero el área S es al círculo ABCD como el círculo
EFGH es a un área menor que el círculo ABCD, entonces
el cuadrado de FH es al cuadrado de BD como el círculo EFGH
es a un área menor que el círculo ABCD, lo cuál
se ha demostrado como imposible. Entonces el cuadrado de BD es al
cuadrado de FH como el círculo ABCD no es a un área
mayor que el círculo EFGH. [Lema]. [V 11].
Y ha sido demostrado que ni uno ni otro es a un área menor
que el círculo EFGH, por lo tanto el cuadrado de BD es al
cuadrado de FH como el círculo ABCD es al círculo
EFGH.
Q.E.D.
LEMA
Yo digo que si el área S es mayor que el círculo EFGH
el área S es al círculo ABCD como el círculo
EFGH es a un área menor que el círculo ABCD.
Para ser concebido que el área S es al círculo ABCD
como el círculo EFGH es al área T.
Yo digo que el área T es menor que el círculo ABCD.
Dado que el área S es al círculo ABCD como el círculo
EFGH es al área T, entonces, por alternancia, el área
S es al círculo EFGH como el círculo ABCD es al área
T. [V 16].
Pero el área S es mayor que el círculo EFGH, entonces
el círculo ABCD es también mayor que el área
T.
Por lo tanto el área S es al círculo ABCD como el
círculo EFGH es a un área menor que el círculo
ABCD.
Entonces, los círculos son uno al otro como los cuadrados
de sus diámetros.
Q.E.D.
