PROPOSICIÓN 2 LIBRO XII

Proposición 2. Los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

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Sean los círculos ABCD y EFGH, y sean BD y FH sus diámetros.
Yo digo que el círculo ABCD es al círculo EFGH como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH.
Porque, si el cuadrado de BD no es al cuadrado de FH como el círculo ABCD es al círculo EFGH, entonces como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, el círculo ABCD es o a un área menor que el círculo EFGH o a un área mayor.
En primer lugar, sea esa razón a un área S.
Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH. Entonces el cuadrado inscrito es mayor que la mitad del círculo EFGH, porque si trazamos las tangentes al círculo que pasan por los puntos E, F, G y H , entonces el cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado circunscrito al círculo, y el círculo es menor que el cuadrado circunscrito, de ahí que el cuadrado inscrito EFGH sea mayor que la mitad del círculo EFGH. [IV 6] [III 17].
Biseccionamos las circunferencias EF, FG, GH y HE por los puntos K, L, M y N. Trazamos EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN y NE.
Por lo tanto cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH y HNE es también mayor que la mitad del segmento del círculo en que se halla porque si trazamos las tangentes al círculo que pasan por los puntos K, L , M y N y completamos los paralelogramos sobre las rectas EF, FG, GH y HE, entonces cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH, y HNE es la mitad del paralelogramo en que se halla, mientras el segmento en que se halla es menor que el paralelogramo, de ahí que cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH, y HNE sea mayor que la mitad del segmento del círculo en que se halla. [III 17].
Entonces, si biseccionamos las circunferencias restantes y trazamos líneas rectas, y procedemos así repetidamente, dejaremos algunos segmentos del círculo que serán menores que el exceso con que el círculo EFGH excede al área S.
Porque se ha demostrado en el primer teorema del Libro X que si de dos magnitudes desiguales se quita de la mayor una magnitud mayor que su mitad, y de la que queda se quita una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, entonces quedará una magnitud más pequeña que la magnitud menor dada. [X1].
Sean los segmentos como se ha descrito, y sean los segmentos del círculo EFGH en EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN y NE menores que el exceso con el que el círculo EFGH excede al área S.
Entonces, el polígono restante EKFLGMHN es mayor que el área S.
Ahora inscribir en el círculo ABCD el polígono AOBPCQDR semejante al polígono EKFLGMHN.
Entonces el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el polígono AOBPCQDR es al polígono EKFLGMHN. [XII 1].
Pero el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el círculo ABCD es al área S, entonces el círculo ABCD es al área S como el polígono AOBPCQDR es al polígono EKFLGMHN. [V 11]. Entonces, por alternancia el círculo ABCD es al polígono inscrito en él como el área S es al polígono EKFLGMHN.[V 16].
Pero el círculo ABCD es mayor que el polígono inscrito en él, entonces el área S es también mayor que el polígono EKFLGMHN. Pero también es menor, lo cual es imposible. Entonces el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el círculo ABCD no es a un área menor que el círculo EFGH. De manera semejante podemos demostrar que el círculo EFGH tampoco es a un área menor que el círculo ABCD como el cuadrado de FH es al cuadrado de BD.

Yo digo ahora que ni uno ni otro es el círculo ABCD a un área mayor que el círculo EFGH como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH.
Porque si fuera posible, séalo en una razón a un área mayor que S. Entonces, inversamente el cuadrado de FH es al cuadrado de DB como el área S es al círculo ABCD.
Pero el área S es al círculo ABCD como el círculo EFGH es a un área menor que el círculo ABCD, entonces el cuadrado de FH es al cuadrado de BD como el círculo EFGH es a un área menor que el círculo ABCD, lo cuál se ha demostrado como imposible. Entonces el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el círculo ABCD no es a un área mayor que el círculo EFGH. [Lema]. [V 11].
Y ha sido demostrado que ni uno ni otro es a un área menor que el círculo EFGH, por lo tanto el cuadrado de BD es al cuadrado de FH como el círculo ABCD es al círculo EFGH.
Q.E.D.

LEMA
Yo digo que si el área S es mayor que el círculo EFGH el área S es al círculo ABCD como el círculo EFGH es a un área menor que el círculo ABCD.
Para ser concebido que el área S es al círculo ABCD como el círculo EFGH es al área T.
Yo digo que el área T es menor que el círculo ABCD.
Dado que el área S es al círculo ABCD como el círculo EFGH es al área T, entonces, por alternancia, el área S es al círculo EFGH como el círculo ABCD es al área T. [V 16].
Pero el área S es mayor que el círculo EFGH, entonces el círculo ABCD es también mayor que el área T.
Por lo tanto el área S es al círculo ABCD como el círculo EFGH es a un área menor que el círculo ABCD.
Entonces, los círculos son uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.
Q.E.D.



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