PROPOSICIÓN 18 LIBRO XII

Proposición 18. Las esferas guardan una con otra la razón triplicada de la de sus respectivos diámetros.

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Sean las esferas ABC y DEF, y sean BC y EF sus diámetros.
Yo digo que la esfera ABC guarda con la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Porque, si la esfera ABC no guarda con la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF, entonces la esfera ABC guarda con cualquier esfera menor o mayor que la esfera DEF la razón triplicada que BC guarda con EF.
Primero, guarde la razón a una esfera menor GHK.
Sea DEF alrededor del mismo centro que GHK. Inscríbase en la esfera mayor DEF un sólido poliédrico que no toque la superficie de la esfera menor GHK. [XII 17].
Inscríbase también en la esfera ABC un sólido poliédrico semejante al sólido poliédrico de la esfera DEF. Entonces el sólido poliédrico inscrito en ABC guarda con el sólido poliédrico inscrito en DEF la razón triplicada de lo que BC guarda con EF. [XII 17, Cor.]
Pero la esfera ABC también guarda con la esfera GHK la razón triplicada de la que BC guarda con EF, entonces la esfera ABC es a la esfera GHK como el sólido poliédrico inscrito en la esfera ABC guarda con el sólido poliédrico inscrito en la esfera DEF, y, por alternancia la esfera ABC es al poliedro en ella como la esfera GHK es al sólido poliédrico en la esfera DEF. [V 16].
Pero la esfera ABC es mayor que el poliedro inscrito en ella, entonces la esfera GHK es también mayor que el poliedro inscrito en la esfera DEF. [V 14].
Pero es también menor, porque está comprendida por él. Entonces la esfera ABCD no guarda con una esfera menor que la esfera DEF la razón triplicada de la que el diámetro BC guarda con EF.
De manera semejante podemos demostrar que la esfera DEF tampoco guarda con una esfera menor que la esfera ABC una razón triplicada de la que EF guarda con BC.
Yo digo ahora que tampoco la esfera ABC guarda con una esfera mayor que la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Porque, si fuera posible, guarde la razón con una mayor, LMN. Entonces, por inversión, la esfera LMN guarda con la esfera ABC la razón triplicada de lo que el diámetro EF guarda con el diámetro BC.
Pero, dado que LMN es mayor que DEF, entonces la esfera LMN es a la esfera ABC como la esfera DEF es a una esfera menor que la esfera ABC, como ya ha sido demostrado. [XII 2 Lema].
Entonces la esfera DEF guarda también con una esfera menor que la esfera ABC la razón triplicada de lo que EF guarda con BC, lo cual ha sido demostrado como imposible.
Entonces la esfera ABC no guarda con ninguna esfera mayor que la esfera DEF la razón triplicada de lo que BC guarda con EF.
Pero se ha demostrado que tampoco guarda la razón con una esfera menor.
Entonces la esfera ABC guarda con la esfera DEF la razón triplicada de lo que BC guarda con EF.
Entonces, las esferas son una a la otra en razón triplicada de sus respectivos diámetros.
Q.E.D.


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D.E.Joyce

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