Sean dos esferas alrededor del mismo centro A.
Se ha requerido inscribir en la esfera mayor un sólido poliedro
que no toque la superfície de la esfera menor.
Cortar las esferas por un plano a través del centro. Entonces
las secciones son círculos, porque la esfera se genera permaneciendo
fijo el diámetro y girando el semicírculo alrededor
de él, de modo que, siendo cualquiera la posición
en la que hemos concebido el semicírculo, el plano a través
de él producirá un círculo en la circunferencia
de la esfera. [XI Def.14].
Y queda claro que éste círculo es el mayor posible,
porque el diámetro de la esfera, el cual es, evidentemente
el diámetro de ambos semicírculos de la esfera, es
mayor que todas las líneas rectas dibujadas en el círculo
o en la esfera.
Sea entonces BCDE el círculo dentro de la esfera mayor, y
FGH el círculo dentro de la esfera menor. Dibujar en ellas
dos diámetros, BD y CE, formando ángulos rectos uno
con otro. [I 11].
Entonces, dados los círculo BCDE y FGH alrededor del mismo
centro, inscribir en el círculo mayor BCDE un polígono
equilátero con un número par de lados que no toque
al círculo menor FGH. [XII 16].
Sean BK, KL, LM y ME los lados en el cuadrante BE. Trazar KA y prolongarlo
hasta N. Levántese AO desde el punto A formando ángulos
rectos con el plano del círculo BCDE, y encuentre la superficie
de la esfera O. [XI 12].
Prolongar planos a través de AO y de cada una de las líneas
rectas BD y KN. Ellos producen círculos máximos en
la superficie de la esfera por la razón indicada.
Dejémoslos, y sean BOD y KON los semicírculos sobre
BD y KN.
Ahoram dado que OA forma un ángulo recto con el plano del
círculo BCDE, entonces todos los planos a través de
AO forman también ángulos rectos con el plano del
círculo BCDE. [XI 18].
Y, dado que los semicírculos BED, BOD y KON son iguales,
porque están sobre los diámetros iguales BD y KN,
entonces los cuadrantes BE, BO y KO son iguales uno al otro.
Entonces hay tantas líneas rectas en los cuadrantes BO y
KO iguales a las líneas rectas BK, KL, LM y ME como de lados
del polígono en el cuadrante BE.
Inscribirlos como BP, PQ, QR y RO y como KS, ST, TU y UO. Trazar
SP, TQ, UR, y dibujar perpendiculares desde P y S al plano del círculo
BCDE. [IV 1] [XI 11].
Caerán sobre BD y KN las secciones comunes de los planos,
porque los planos BOD y KON forman también ángulos
rectos con el plano del círculo BCDE. [XI Def.4].
Caigan como PV y SW, y trazar WV.
Ahora, dado que en los semicírculo BOD y KON las líneas
rectas iguales BP y KS se han quitado, y las perpendiculares PV
y SW han sido dibujadas, entonces PV es igual a SW, y BV igual a
KW. [III 27] [I 26].
Pero la recta entera BA es también igual a la recta entera
KA, entonces el resto de VA es también igual al resto de
WA. Entonces BV es a VA como KW es a WA. Entonces WV es paralelo
a KB. [VI 2].
Y, dado que cada una de las líneas rectas PV y SW forman
ángulos rectos con el plano del círculo BCDE, entonces
PV es paralela a SW. [XI 6].
Pero ha sido demostrado que es igual a ella, entonces WV y SP son
iguales y paralelos. [I 33].
Y, dado que WV es paralelo a SP, y WV es paralelo a KB, entonces
SP es también paralelo a KB. [XI 9].
Y BP y KS unen sus extremos, entonces el cuadrilátero KBPS
está en un plano, porque si dos líneas rectas son
paralelas, y se toman de ellas puntos al azar, entonces la línea
recta que une esos puntos está en el mismo plano que las
paralelas. Por la misma razón cada uno de los cuadriláteros
SPQT y TQRU están también en un plano.[XI 7].
Pero el triángulo URO está también en un plano.
Si después trazamos líneas rectas desde los puntos
P, S, Q, T, R y U hasta A, entonces se construirá una cierta
figura sólida poliédrica entre las circunferencias
BO y KO que consiste en pirámides de las cuáles los
cuádriláteros KBPS, SPQT y TQRU y el triángulo
URO son sus bases y el punto A el vértice. [XI 2].
Y, si procedemos a la misma construcción en el caso de cada
uno de los lados KL, LM y ME como en el caso de BK, y además,
en el caso de los tres cuadrantes restantes, entonces construiremos
una cierta figura poliédrica inscrita en la esfera y comprendida
por pirámides, de las cuales los cuadriláteros citados
y el triángulo URO, y los correspondientes a ellos, son las
bases y el punto A es el vértice.
Yo digo que dicho poliedro no toca a la esfera menor en la superficie
que está el círculo FGH.
Dibujar AX desde el punto A perpendicular al plano del cuadrilátero
KBPS, y encontrar el plano en el punto X. Trazar XB y XK. [XI 11].
Entonces, dado que AX forma ángulos rectos con el plano del
cuadrilátero KBPS, entonces forma también ángulos
rectos con todas las líneas rectas que la tocan y están
en el plano del cuadrilátero. Entonces AX forma ángulos
rectos con cada una de la líneas rectas BX y XK. [XI Def.3].
Y, dado que AB es igual a AK, entonces el cuadrado en AB es igual
al cuadrado en AK. Y la suma de los cuadrados AX y XB es igual al
cuadrado de AB, porque el ángulo X es recto, y la suma de
los cuadrado de AX y XK es igual al cuadrado de AK. [I 47].
Entonces la suma de los cuadrados de AX y XB es igual a la suma
de los cuadrados de AX y XK.
Restamos de cada uno el cuadrado de AX, entonces el resto, el cuadrado
de BX, es igual al resto, el cuadrado de XK. Entonces BX es igual
a XK.
De manera semejante podemos demostrar que las líneas rectas
trazadas desde X hasta P y S son iguales a cada una de las líneas
rectas BX y XK.
Entonces el círculo con centro X y radio sobre las líneas
rectas XB o XK pasa también por P y S, y KBPS es un cuadrilátero
en un círculo.
Ahora, dado que KB es mayor que WV, y WV es igual a SP, entonces
KB es mayor que SP. Pero KB es igual a cada una de las líneas
rectas KS y BP, entonces cada una de las líneas rectas KS
y BP es mayor que SP. Y, dado que KBPS es un cuadrilátero
en un círculo, y KB, BP y KS son iguales, y PS es menor,
y BX es el radio del círculo, entonces el cuadrado de KB
es mayor que el doble del cuadrado de BX.
Dibujar KZ desde K perpendicular a BV. [I 12].
Entonces, dado que BD es menor que el doble de DZ, y BD es a DZ
como el rectángulo DB por BZ es al rectángulo DZ por
ZB, entonces si se describe un cuadrado sobre BZ y se completa el
paralelogramo sobre ZD, entonces el rectángulo DB por BZ
es también menor que el doble del rectángulo DZ por
ZB. Y, si se traza KD, entonces el rectángulo DB por BZ es
igual al cuadrado de BK, y el rectángulo DZ por ZB es igual
al cuadrado de KZ. Entonces el cuadrado de KB es menor que el doble
del cuadrado de KZ. [I 46] [III 31] [VI 18, Cor.].
Pero el cuadrado de KB es mayor que el doble del cuadrado de BX,
entonces el cuadrado de KZ es mayor que el cuadrado de BX. Y, dado
que BA es igual a KA, entonces el cuadrado de BA es igual al cuadrado
de AK.
Y la suma de los cuadrado de BX y XA es igual al cuadrado de BA,
y la suma de los cuadrados de KZ y ZA es igual al cuadrado de KA,
entonces la suma de los cuadrados de BX y XA es igual a la suma
de los cuadrados de KZ y ZA, y de esto, el cuadrado de KZ es mayor
que el cuadrado de BX, entonces el resto, el cuadrado de ZA, es
menor que el cuadrado de XA. [I 47].
Entonces AX es mayor que AZ. Entonces AX es mucho mayor que AG.
Y AX es la perpendicular sobre una de las bases del poliedro, y
AG sobre la superficie de la esfera menor, dado que el poliedro
no toca la superficie de la esfera menor.
Entonces, dadas dos esfera con el mismo centro, un sólido
poliedro ha sido inscrito en la esfera mayor que no toca la superficie
de la esfera menor.
COROLARIO
Pero si dentro de otra esfera se inscribe un sólido poliédrico
semejante al sólido de la esfera BCDE, entonces el sólido
poliédrico dentro de la esfera BCDE guarda con el sólido
poliédrico de la otra esfera una razón triplicada
de la que el diámetro de la esfera BCDE guarda con el diámetro
de la otra esfera.
Porque, si se dividen los sólidos en sus pirámides
semejantes en cantidad y disposición, las pirámides
serán semejantes.
Pero las pirámides semejantes están una de la otra
en razón triplicada de la de sus correspondientes lados,
entonces la pirámide con base cuadrilátera KBPS y
vértice A guarda con la pirámide dispuesta de manera
semejante en la otra esfera una razón triplicada de la que
el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir,
de la que el radio AB de la esfera con centro A guarda con el radio
de otra esfera. [XII 18 Cor.].
De manera semejante cada pirámide de la esfera de centro
A guarda con cada pirámide dispuesta de manera semejante
de la otra esfera una razón triplicada de la que AB guarda
con el radio de la otra esfera.
Y uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes como todos
los antecedentes son a todos los consecuentes, de modo que el sólido
poliédrico entero en la esfera de centro A guarda con el
sólido poliédrico entero de la otra esfera una razón
triplicada de la que AB guarda con el radio de la otra esfera, es
decir, de la que el diámetro BD guarda con el diámetro
de la otra esfera. [V 12].
Q.E.F.
