PROPOSICIÓN 17 LIBRO XII

Proposición 17. Dadas dos esferas con el mismo centro, inscribir en la esfera mayor un sólido poliédrico que no toque la superfície de la esfera menor.

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Sean dos esferas alrededor del mismo centro A.
Se ha requerido inscribir en la esfera mayor un sólido poliedro que no toque la superfície de la esfera menor.
Cortar las esferas por un plano a través del centro. Entonces las secciones son círculos, porque la esfera se genera permaneciendo fijo el diámetro y girando el semicírculo alrededor de él, de modo que, siendo cualquiera la posición en la que hemos concebido el semicírculo, el plano a través de él producirá un círculo en la circunferencia de la esfera. [XI Def.14].
Y queda claro que éste círculo es el mayor posible, porque el diámetro de la esfera, el cual es, evidentemente el diámetro de ambos semicírculos de la esfera, es mayor que todas las líneas rectas dibujadas en el círculo o en la esfera.
Sea entonces BCDE el círculo dentro de la esfera mayor, y FGH el círculo dentro de la esfera menor. Dibujar en ellas dos diámetros, BD y CE, formando ángulos rectos uno con otro. [I 11].
Entonces, dados los círculos BCDE y FGH alrededor del mismo centro, inscribir en el círculo mayor BCDE un polígono equilátero con un número par de lados que no toque al círculo menor FGH. [XII 16].
Sean BK, KL, LM y ME los lados en el cuadrante BE. Trazar KA y prolongarlo hasta N. Levántese AO desde el punto A formando ángulos rectos con el plano del círculo BCDE, y encuentre la superfície de la esfera O. [XI 12].
Prolongar planos a través de AO y de cada una de las líneas rectas BD y KN. Ellos producen círculos máximos en la superfície de la esfera por la razón indicada.
Dejémoslos, y sean BOD y KON los semicírculos sobre BD y KN.
Ahora dado que OA forma un ángulo recto con el plano del círculo BCDE, entonces todos los planos a través de AO forman también ángulos rectos con el plano del círculo BCDE. [XI 18].
Y, dado que los semicírculos BED, BOD y KON son iguales, porque están sobre los diámetros iguales BD y KN, entonces los cuadrantes BE, BO y KO son iguales uno al otro.
Entonces hay tantas líneas rectas en los cuadrantes BO y KO iguales a las líneas rectas BK, KL, LM y ME como de lados del polígono en el cuadrante BE.
Inscribirlos como BP, PQ, QR y RO y como KS, ST, TU y UO. Trazar SP, TQ, UR, y dibujar perpendiculares desde P y S al plano del círculo BCDE. [IV 1] [XI 11].
Caerán sobre BD y KN las secciones comunes de los planos, porque los planos BOD y KON forman también ángulos rectos con el plano del círculo BCDE. [XI Def.4].
Caigan como PV y SW, y trazar WV.
Ahora, dado que en los semicírculos BOD y KON las líneas rectas iguales BP y KS se han quitado, y las perpendiculares PV y SW han sido dibujadas, entonces PV es igual a SW, y BV igual a KW. [III 27] [I 26].
Pero la recta entera BA es también igual a la recta entera KA, entonces el resto de VA es también igual al resto de WA. Entonces BV es a VA como KW es a WA. Entonces WV es paralelo a KB. [VI 2].
Y, dado que cada una de las líneas rectas PV y SW forman ángulos rectos con el plano del círculo BCDE, entonces PV es paralela a SW. [XI 6].
Pero ha sido demostrado que es igual a ella, entonces WV y SP son iguales y paralelos. [I 33].
Y, dado que WV es paralelo a SP, y WV es paralelo a KB, entonces SP es también paralelo a KB. [XI 9].
Y BP y KS unen sus extremos, entonces el cuadrilátero KBPS está en un plano, porque si dos líneas rectas son paralelas, y se toman de ellas puntos al azar, entonces la línea recta que une esos puntos está en el mismo plano que las paralelas. Por la misma razón cada uno de los cuadriláteros SPQT y TQRU están también en un plano.[XI 7].
Pero el triángulo URO está también en un plano. Si después trazamos líneas rectas desde los puntos P, S, Q, T, R y U hasta A, entonces se construirá una cierta figura sólida poliédrica entre las circunferencias BO y KO que consiste en pirámides de las cuáles los cuadriláteros KBPS, SPQT y TQRU y el triángulo URO son sus bases y el punto A el vértice. [XI 2].
Y, si procedemos a la misma construcción en el caso de cada uno de los lados KL, LM y ME como en el caso de BK, y además, en el caso de los tres cuadrantes restantes, entonces construiremos una cierta figura poliédrica inscrita en la esfera y comprendida por pirámides, de las cuales los cuadriláteros citados y el triángulo URO, y los correspondientes a ellos, son las bases y el punto A es el vértice.
Yo digo que dicho poliedro no toca a la esfera menor en la superfície que está el círculo FGH.
Dibujar AX desde el punto A perpendicular al plano del cuadrilátero KBPS, y encontrar el plano en el punto X. Trazar XB y XK. [XI 11].
Entonces, dado que AX forma ángulos rectos con el plano del cuadrilátero KBPS, entonces forma también ángulos rectos con todas las líneas rectas que la tocan y están en el plano del cuadrilátero. Entonces AX forma ángulos rectos con cada una de las líneas rectas BX y XK. [XI Def.3].
Y, dado que AB es igual a AK, entonces el cuadrado en AB es igual al cuadrado en AK. Y la suma de los cuadrados AX y XB es igual al cuadrado de AB, porque el ángulo X es recto, y la suma de los cuadrados de AX y XK es igual al cuadrado de AK. [I 47].
Entonces la suma de los cuadrados de AX y XB es igual a la suma de los cuadrados de AX y XK.
Restamos de cada uno el cuadrado de AX, entonces el resto, el cuadrado de BX, es igual al resto, el cuadrado de XK. Entonces BX es igual a XK.
De manera semejante podemos demostrar que las líneas rectas trazadas desde X hasta P y S son iguales a cada una de las líneas rectas BX y XK.
Entonces el círculo con centro X y radio sobre las líneas rectas XB o XK pasa también por P y S, y KBPS es un cuadrilátero en un círculo.
Ahora, dado que KB es mayor que WV, y WV es igual a SP, entonces KB es mayor que SP. Pero KB es igual a cada una de las líneas rectas KS y BP, entonces cada una de las líneas rectas KS y BP es mayor que SP. Y, dado que KBPS es un cuadrilátero en un círculo, y KB, BP y KS son iguales, y PS es menor, y BX es el radio del círculo, entonces el cuadrado de KB es mayor que el doble del cuadrado de BX.
Dibujar KZ desde K perpendicular a BV. [I 12].
Entonces, dado que BD es menor que el doble de DZ, y BD es a DZ como el rectángulo DB por BZ es al rectángulo DZ por ZB, entonces si se describe un cuadrado sobre BZ y se completa el paralelogramo sobre ZD, entonces el rectángulo DB por BZ es también menor que el doble del rectángulo DZ por ZB. Y, si se traza KD, entonces el rectángulo DB por BZ es igual al cuadrado de BK, y el rectángulo DZ por ZB es igual al cuadrado de KZ. Entonces el cuadrado de KB es menor que el doble del cuadrado de KZ. [I 46] [III 31] [VI 18, Cor.].
Pero el cuadrado de KB es mayor que el doble del cuadrado de BX, entonces el cuadrado de KZ es mayor que el cuadrado de BX. Y, dado que BA es igual a KA, entonces el cuadrado de BA es igual al cuadrado de AK.
Y la suma de los cuadrados de BX y XA es igual al cuadrado de BA, y la suma de los cuadrados de KZ y ZA es igual al cuadrado de KA, entonces la suma de los cuadrados de BX y XA es igual a la suma de los cuadrados de KZ y ZA, y de esto, el cuadrado de KZ es mayor que el cuadrado de BX, entonces el resto, el cuadrado de ZA, es menor que el cuadrado de XA. [I 47].
Entonces AX es mayor que AZ. Entonces AX es mucho mayor que AG.
Y AX es la perpendicular sobre una de las bases del poliedro, y AG sobre la superfície de la esfera menor, dado que el poliedro no toca la superfície de la esfera menor.
Entonces, dadas dos esferas con el mismo centro, un sólido poliedro ha sido inscrito en la esfera mayor que no toca la superfície de la esfera menor.

COROLARIO
Pero si dentro de otra esfera se inscribe un sólido poliédrico semejante al sólido de la esfera BCDE, entonces el sólido poliédrico dentro de la esfera BCDE guarda con el sólido poliédrico de la otra esfera una razón triplicada de la que el diámetro de la esfera BCDE guarda con el diámetro de la otra esfera.
Porque, si se dividen los sólidos en sus pirámides semejantes en cantidad y disposición, las pirámides serán semejantes.
Pero las pirámides semejantes están una de la otra en razón triplicada de la de sus correspondientes lados, entonces la pirámide con base cuadrilátera KBPS y vértice A guarda con la pirámide dispuesta de manera semejante en la otra esfera una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir, de la que el radio AB de la esfera con centro A guarda con el radio de la otra esfera. [XII 18 Cor.].
De manera semejante cada pirámide de la esfera de centro A guarda con cada pirámide dispuesta de manera semejante de la otra esfera una razón triplicada de la que AB guarda con el radio de la otra esfera.
Y uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes como todos los antecedentes son a todos los consecuentes, de modo que el sólido poliédrico entero en la esfera de centro A guarda con el sólido poliédrico entero de la otra esfera una razón triplicada de la que AB guarda con el radio de la otra esfera, es decir, de la que el diámetro BD guarda con el diámetro de la otra esfera. [V 12].
Q.E.F.


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