PROPOSICIÓN 15 LIBRO XII

Proposición 15. Las bases de los conos y cilindros iguales están inversamente relacionadas con las alturas, y aquellos conos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

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Sean iguales los conos y cilindros con bases circulares ABCD y EFGH.
Sean AC y EG los diámetros de las bases, y KL y MN los ejes que son también las alturas del cono o del cilindro.
Completar el cilindro AO y EP.
Yo digo que en los cilindros AO y EP las bases son inversamente proporcionales a las alturas, es decir, la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura KL.
Porque la altura LK es o bien igual o bien desigual a la altura MN.
Primero, que sea igual.
Ahora sea el cilindro AO también igual al cilindro EP. Pero los conos y cilindros de igual altura son uno al otro como sus bases, entonces la base ABCD es igual a la base EFGH. [XII 11].
De ahí, recíprocamente, la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura KL.
Después, sea la altura LK desigual a MN, y sea MN mayor.
Quítese QN de la altura MN igual a KL. Por el punto Q sea el cilindro EP cortado por el plano TUS paralelo a los planos de los círculos EFGH y RP. Levantar el cilindro ES desde el círculo EFGH como base y NQ como altura.
Ahora, dado que el cilindro AO es igual al cilindro EP, entonces el cilindro AO es al cilindro ES como el cilindro EP es al cilindro ES. [V 7].
Pero el cilindro AO es al cilindro ES como la base ABCD es a la base EFGH, porque los cilindros AO y ES tienen la misma altura. Y el cilindro EP es al cilindro ES como la altura MN es a la altura QN, porque el cilindro EP se ha cortado por un plano paralelo a los planos opuestos. [XII 11]. Entonces la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura QN.[XII 13] [V 11].
Pero la altura QN es igual a la altura KL, entonces la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura KL.
Entonces en los cilindros AO y EP las bases son inversamente proporcionales a las alturas.
Después, en los cilindros AO y EP sean las bases inversamente proporcionales a las alturas, es decir, como la base ABCD es a la base EFGH, así es la altura MN a la altura KL.
Yo digo que el cilindro AO es igual al cilindro EP.
Con una construcción, dado que la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura KL, y la altura KL es igual a la altura QN, entonces la base ABCD es a la base EFGH como la altura MN es a la altura QN.
Pero la base ABCD es a la base EFGH como el cilindro AO es al cilindro ES, porque tienen la misma altura.[XII 11]. Y la altura MN es a QN como el cilindro EP es al cilindro ES, entonces el cilindro AO es al cilindro ES como el cilindro EP es al cilindro ES. [XII 13] [V 11].
Entonces el cilindro AO es igual al cilindro EP. [V 9].
Y lo mismo es cierto para los conos. [XII 10].
Entonces, en conos y cilindros iguales, las bases son inversamente proporcionales a las alturas; y esos conos y cilindros en los cuales las bases son inversamente proporcionales a las alturas son iguales.
Q.E.D.


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