PROPOSICIÓN 14 LIBRO XII

Proposición 14. Los conos y cilindros que están sobre bases iguales son uno al otro como sus alturas.

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Sean EB y FD los cilindros de igual base, los círculos AB y CD.
Yo digo que el cilindro EB es al cilindro FD como el eje GH es al eje KL.
Prolongar el eje KL hasta el punto N, trazar LN igual al eje GH, y construir el cilindro CM alrededor del eje LN. [I 3].
Entonces, dado que los cilindros EB y CM son de la misma altura, entonces son una a la otra como sus bases. [XII 11].
Pero las bases son iguales una a otra, entonces los cilindros EB y CM son también iguales.
Y, dado que el cilindro FM ha sido cortado por el plano CD paralelo a los planos opuestos, entonces el cilindro CM es al cilindro FD como el eje LN es al eje KL. [XII 13].
Pero el cilindro CM es igual al cilindro EB, y el eje LN es igual al eje GH, entonces el cilindro EB es al cilindro FD como el eje GH es al eje KL.
Pero el cilindro EB es al cilindro FD como el cono ABG es al cono CDK.
Entonces el eje GH es al eje KL como el cono ABG es al cono CDK y como el cilindro EB es al cilindro FD. [XII 10].
Por lo tanto, los conos y cilindros de igual base son uno al otro como sus alturas.
Q.E.D.


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D.E.Joyce

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