PROPOSICIÓN 12 LIBRO XII

Proposición 12. Los conos y cilindros semejantes guardan uno a otro una razón triplicada de la que guardan los diámetros de sus bases.

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Sean conos y cilindros semejantes, y sean los círculos ABCD y EFGH sus bases, BD y FH los diámetros de sus bases, y KL y MN los ejes de los conos y cilindros.
Yo digo que el cono de base circular ABCD y vértice L guarda con el cono de base EFGH y vértice N una razón triplicada de la que BD guarda con FH.
Porque, si el cono ABCDL no guarda con el cono EFGHN la razón triplicada que BD guarda con FH, entonces el cono ABCDL guarda una razón triplicada con un sólido menor que el cono EFGHN o uno mayor.
Primero, guarde la razón triplicada con un sólido menor O. Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH. Entonces el cuadrado EFGH es mayor que la mitad del círculo EFGH. [IV 6].
Levántese ahora sobre el cuadrado EFGH una pirámide con el mismo vértice que el cono. Entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono. Biseccionar las circunferencias EF, FG, GH y HE por los puntos P, Q, R y S y trazar EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS y SE.
Entonces cada uno de los triángulos EPF, FQG, GRH y HSE es también mayor que la mitad del segmento del círculo EFGH en el que está.
Ahora levántese en cada uno de los triángulos EPF, FQG, GRH y HSE una pirámide con el mismo vértice que el cono.
Entonces cada una de las pirámides levantadas es también mayor que la mitad del segmento del cono sobre el que está.
Así, biseccionamos las circunferencias restantes, trazamos líneas rectas, levantamos sobre cada uno de los triángulos pirámides con el mismo vértice que el cono, y lo hacemos repetidamente, hasta dejar algunos segmentos del cono que son menores que el exceso con el que el cono EFGHN excede al sólido O. [X 1].
Dejamos éstos de lado, y sean los segmentos EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS y SE. Entonces la pirámide restante con base poligonal EPFQGRHS y vértice N, es mayor que el sólido O.
Ahora inscríbase en el círculo ABCD el polígono ATBUCVDW semejante y situado de manera semejante que el polígono EPFQGRHS, y levántese sobre el polígono ATBUCVDW una pirámide con el mismo vértice que el cono.
Sea LBT uno de los triángulos que comprenden la pirámide con base poligonal ATBUCVDW y vértice L, y sea NFP uno de los triángulos que comprenden la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice N. Trazar KT y MP. Ahora, dado que el cono ABCDL es semejante al cono EFGHN, entonces BD es a FH como el eje KL es al eje MN. [XI Def. 24].
Pero BD es a FH como BK es a FM, entonces BK es a FM como KL es a MN. Y, por alternancia BK es a KL como FM es a MN. [V 16].
Y los lados son proporcionales a los ángulos iguales, a saber los ángulos BKL y FMN, entonces el triángulo BKL es semejante al triángulo FMN. [VI 6].
De nuevo, dado que BK es a KT como FM es a MP, y que tienen ángulos iguales, a saber los ángulos BKT y FMP, porque cualquier parte del ángulo BKT es de los cuatro ángulos rectos del centro K, la misma parte que el ángulo FMP es de los cuatro ángulos rectos del centro M. Entonces, dado que los lados son proporcionales a los ángulos iguales, entonces el triángulo BKT es semejante al triángulo FMP. [VI 6].
De nuevo, dado que ha sido demostrado que BK es a KL como FM es a MN, mientras BK es igual a KT, y FM es igual a PM, entonces TK es a KL como PM es a MN. Y los lados son proporcionales a los ángulos iguales, a saber los ángulos TKL y PMN. porque son rectos, entonces el triángulo LKT es semejante al triángulo NMP. [VI 6].
Y dado que los triángulos LKB y NMF son semejantes, entonces LB es a BK como NF es a FM. Y dado que los triángulos BKT y FMP son semejantes, entonces KB es a BT como MF es a FP. Entonces, ex aequali, LB es a BT como NF es a FP. [VI 6].
De nuevo, dado que los triángulos LTK y NPM son semejantes, entonces LT es a TK como NP es a PM, y dado que los triángulos TKB y PMF son semejantes, entonces KT es a TB como MP es a PF. Entonces, ex aequali, LT es a TB como NP es a PF. [VI 6].
Pero ha sido demostrado que TB es a BL como PF es a FN. Entonces, ex aequali, TL es a LB como PN es a NF. [V 22].
Entonces en los triángulos LTB y NPF los lados son proporcionales. [VI 5]. Entonces los triángulos LTB y NPF son equiangulares, dado que también son semejantes. [VI Def.1].
Entonces la pirámide con base triangular BKT y vértice L es semejante a la pirámide con base triangular FMP y vértice N, porque están comprendidas por planos similares iguales en cantidad. [XI Def.9].
Pero las pirámides con base triangular guardan una con la otra una razón triplicada de la que guardan sus correspondientes lados. [XII 8].
Entonces la pirámide BKTL guarda con la pirámide FMPN una razón triplicada de lo que BK guarda con FM.
De manera similar, trazando líneas rectas desde A, W, D, V, C y U hasta K, y desde E, S, H, R, G y Q hasta M, y levantamos sobre cada triángulo pirámides con el mismo vértice que los conos, podemos demostrar que cada una de las pirámides colocada de manera semejante guarda también con cada una de las pirámides colocadas de manera semejante la razón triplicada de lo que el lado correspondiente BK guarda con el lado correspondiente FM, es decir, lo que BD guarda con FH.
Y uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes como todos los antecedentes son a todos los consecuentes, entonces la pirámide BKTL es a la pirámide FMPN como la pirámide entera de base poligonal ATBUCVDW y vértice L es a la pirámide entera EPFQGRHS con base poligonal y vértice N, dado que la pirámide con base ATBUCVDW y vértice L guarda con la pirámide de base poligonal EPFQGRHS y vértice N la razón triplicada de lo que BD guarda con FH. [V 12].
Pero, por la hipótesis, el cono con base circular ABCD y vértice L también guarda con el sólido O la razón triplicada de lo que BD guarda con FH, entonces el cono con base circular ABCD y vértice L es al sólido O como la pirámide con base poligonal ATBUCVDW y vértice L es a la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice N. Entonces, por alternancia el cono con base circular ABCD y vértice L es a la pirámide inscrita en él con la base poligonal ATBUCVDW y vértice L como al sólido O es a la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice N. [V 16].
Pero el cono nombrado es mayor que la pirámide inscrita en él, porque la comprende. Entonces el sólido O es también mayor que la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice N. Pero también es menor, lo cual es imposible.
Entonces el cono con base circular ABCD y vértice L no guarda con ningún sólido menor que el cono de base circular EFGH y vértice N la razón triplicada de lo que BD guarda con FH.
De igual manera podemos demostrar que tampoco el cono EFGHN guarda con ningún sólido menor que el cono ABCDL la razón triplicada de lo que FH guarda con BD.
Yo digo después que tampoco guarda el cono ABCDL con ningún sólido mayor que el cono EFGHN la razón triplicada de lo que BD guarda con FH.
Porque, si fuera posible, sea la razón a un sólido mayor que O. Entonces, por inversión, el sólido O guarda con el cono ABCDL la razón triplicada de lo que FH guarda con BD. Pero el sólido O es al cono ABCDL como el cono EFGHN es a un sólido menor que el cono ABCDL.
Entonces el cono EFGHN guarda también con un sólido menor que el cono ABCDL la razón triplicada de lo que FH guarda con BD, lo cual se ha demostrado como imposible.
Entonces el cono ABCDL no guarda con ningún sólido mayor que el cono EFGHN la razón triplicada de lo que BD guarda con FH.
Pero se ha demostrado que tampoco guarda la razón con ningún sólido menor que el cono EFGHN. Entonces el cono ABCDL guarda con el cono EFGHN la razón triplicada de lo que BD guarda con FH.
Pero el cono es al cono como el cilindro es al cilindro, porque el cilindro con la misma base que el cono y igual altura es triple que el cono. Entonces el cilindro guarda también con el cilindro la razón triplicada de lo que BD guarda con FH. [XII 10].
Por lo tanto, los conos y cilindros semejantes son uno al otro en razón triplicada de los diámetros de sus bases.
Q.E.D.

 

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D.E.Joyce

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