PROPOSICIÓN 11 LIBRO XII

Proposición 11. Los conos y cilindros que tienen la misma altura son uno a otro como sus bases.

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Sean conos y cilindros de la misma altura, sus bases los círculos ABCD y EFGH, sus ejes KL y MN, y AC y EG los diámetros de sus bases.
Yo digo que el círculo ABCD es al círculo EFGH como el cono AL es al cono EN.
Porque si no, entonces el círculo ABCD es al círculo EFGH como el cono AL es o bien a un sólido menor que el cono EN o bien a uno mayor.
Séalo primero a un sólido menor O, y sea el sólido X igual a aquello en lo que el sólido O es menor que el cono EN. Entonces el cono EN es igual a la suma de los sólidos O y X.
Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH. Entonces el cuadrado es mayor que la mitad del círculo. [IV 6].
Levántese desde el cuadrado EFGH una pirámide de igual altura que el cono. Entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono, porque si circunscribimos un cuadrado alrededor de un círculo, y levantamos a partir de él una pirámide de igual altura que el cono, entonces la pirámide inscrita es la mitad de la pirámide circunscrita, porque son una a otra como sus bases, mientras que el cono es menor que la pirámide circunscrita. [XII 6].
Biseccionar las circunferencias EF, FG, GH y HE por los puntos P, Q, R y S, y trazamos HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS y SH.
Entonces cada uno de los triángulos HPE, EQF, FRG y GSH es mayor que la mitad del segmento del círculo en el que está.
Levántese sobre cada uno de los triángulos HPE, EQF, FRG y GSH una pirámide de igual altura que el cono. Entonces cada una de las pirámides levantadas es también mayor que la mitad del segmento del cono en que está.
Así pues, biseccionamos las circunferencias que quedan, trazamos líneas rectas, levantamos en cada uno de los triángulos, pirámides de igual altura que el cono, y hacemos esto repetidamente, dejaremos algunos segmentos del cono que son menores que el sólido X. [X 1].
Dejamos éstos, y sean ahora los segmentos HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS y SH.
Entonces, la pirámide restante con base poligonal HPEQFRGS y misma altura que el cono, es mayor que el sólido O.
Ahora, inscríbase en el círculo ABCD el polígono DTAUBVCW semejante y situado de manera similar al polígono HPEQFRGS, y levantamos sobre él una pirámide de igual altura que el cono AL.
Dado que el cuadrado de AC es al cuadrado de EG como el polígono DTAUBVCW es al polígono HPEQFRGS, mientras el cuadrado de AC es al cuadrado de EG como el círculo ABCD es al círculo EFGH, entonces el círculo ABCD es al círculo EFGH como el polígono DTAUBVCW es al polígono HPEQFRGS. [XII.1] [XII.2].
Pero el círculo ABCD es al círculo EFGH como el cono AL es al sólido O, y el polígono DTAUBVCW es al polígono HPEQFRGS como la pirámide de base poligonal DTAUBVCW y vértice L es a la pirámide de base poligonal HPEQFRGS y vértice N. [XII 6].
Entonces el cono AL es al sólido O como la pirámide de base poligonal DTAUBVCW y vértice L es a la pirámide de base poligonal HPEQFRGS y vértice N. Entonces, por alternancia el cono AL es a la pirámide inscrita en él como el sólido O es a la pirámide inscrita en el cono EN. [V 11] [V 16].
Pero el cono AL es mayor que la pirámide inscrita en él, entonces el sólido O es también mayor que la pirámide inscrita en el cono EN.
Pero también es menor, lo cual es absurdo.
Entonces el cono AL no es a un sólido menor que el cono EN como el círculo ABCD es al círculo EFGH.
De manera semejante podemos demostrar que tampoco el cono EN es a ningún sólido menor que el cono AL como el círculo EFGH es al círculo ABCD.
Yo digo ahora que tampoco el cono AL es a ningún sólido mayor que el cono EN como el círculo ABCD es al círculo EFGH.
Porque si fuera posible, séalo en una razón al sólido mayor O. Entonces, por inversión el círculo EFGH es al círculo ABCD como el sólido es al cono AL.
Pero el sólido O es al cono AL como el cono EN lo es a algún sólido menor que el cono AL, entonces el círculo EFGH es al círculo ABCD como el cono EN es a algún sólido menor que el cono AL, lo cual ha sido demostrado como imposible.
Entonces el cono AL no es a ningún sólido mayor que el cono EN como el círculo ABCD es al círculo EFGH.
Pero se ha demostrado que ninguno lo es en una razón a un sólido menor, entonces el círculo ABCD es al círculo EFGH como el cono AL es al cono EN.
Pero el cono es al cono como el cilindro es al cilindro, porque cada uno es el triple de cada uno. Entonces el círculo ABCD es al círculo EFGH como lo son los cilindros a los cilindros de igual altura. [XII 10].
Por lo tanto, los conos y cilindros de igual altura son el uno al otro como sus bases.
Q.E.D.


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D.E.Joyce

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