PROPOSICIÓN 10 LIBRO XII

Proposición 10. Cualquier cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base y la misma altura.

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Sea un cono con la misma base, el círculo ABCD de un cilindro y de igual altura.
Yo digo que el cono es una tercera parte del cilindro, es decir, que el cilindro es el triple del cono.
Porque si el cilindro no es el triple del cono, entonces el cilindro será o bien mayor o bien menor que el triple del cono.
Sea primero, mayor que el triple.
Inscríbase el cuadrado ABCD en el círculo ABCD. Entonces el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD. Desde el cuadrado ABCD levántese un prisma de igual altura que el cilindro. [IV 6].
Entonces el prisma levantado es mayor que la mitad del cilindro, porque si circunscribimos un cuadrado en el círculo ABCD, el cuadrado inscrito en el círculo ABCD es la mitad del circunscrito, y los sólidos levantados a partir de ellos son prismas paralepípedos de igual altura, ya que los sólidos paralepípedos de igual altura son uno a otro como sus bases, entonces también el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD es la mitad del prisma levantado desde el cuadrado circunscrito en el círculo ABCD, entonces el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD y de igual altura que el cilindro es mayor que la mitad del cilindro. [IV 7] [XI 32] [XI 28 or XII 6] [XII 7 Cor.].
Biseccionar las circunferencias AB, BC, CD y DA por los puntos E, F, G y H y trazar AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces cada triángulo AEB, BFC, CGD y DHA es mayor que la mitad del segmento del círculo ABCD en el que está, como hemos demostrado anteriormente. [XII 2].
En cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD y DHA levántense prismas de igual altura que el cilindro. Entonces cada uno de los prismas levantados es mayor que la mitad del segmento del cilindro en el que está, porque si dibujamos por los puntos E, G, G y H paralelas a AB, BC, CD y DA, completamos los paralelogramos en AB, BC, CD y DA, y levantamos a partir de ellos sólidos paralepípedos de igual altura que el cilindro, entonces los prismas sobre los triángulos AEB, BFC, CGD y DHA son la mitad de cada uno de los sólidos levantados, y los segmentos del cilindro son menores que los sólidos paralepípedos levantados, por lo tanto también los prismas sobre los triángulos AEB, BFC, CGD y DHA son mayores que la mitad de los segmentos del cilindro en el que están. [I 31].
Así pues, biseccionamos las circunferencias que quedan, trazamos líneas rectas, uniendo cada uno de los prismas triangulares con el cilindro, y lo hacemos repetidamente, dejaremos algunos segmentos del cilindro que son menores que el exceso con el que el cilindro excede el triple al cono. [X 1].
Dejemos los segmentos, y sean AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces el prisma restante con base poligonal AEBFCGDH y la misma altura que el cilindro es triple de la pirámide con base poligonal AEBFCGDH y el mismo vértice del cono. Por lo tanto la pirámide con base poligonal AEBFCGDH y mismo vértice que el cono es mayor que el cono con base circular ABCD. [XII 7 Cor.].
Pero también es menor porque está incluída en él, lo cuál es imposible.
Por lo tanto el cilindro no es mayor que el triple del cono.
Yo digo ahora que en ningún caso el cilindro es menor que el triple del cono.
Porque si fuera posible el cilindro sería menor que el triple del cono. Entonces, por inversión, el cono es mayor que la tercera parte del cilindro.
Inscríbase el cuadrado ABCD en el círculo ABCD. Entonces el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD. [IV 6].
Ahora levántese desde el cuadrado ABCD una pirámide con el mismo vértice que el cono. Entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono, porque, como hemos demostrado antes, si circunscribimos un cuadrado en un círculo, como el cuadrado ABCD es la mitad del cuadrado circunscrito, y si levantamos desde el cuadrado sólidos paralepípedos de igual altura que el cono, que también llamamos prismas, entonces el sólido levantado desde el cuadrado ABCD es la mitad que el levantado desde el cuadrado circunscrito en el círculo, porque son uno a otro como sus bases. [XI 32].
De este modo los tercios están también en la misma razón. Por lo tanto la pirámide con base el cuadrado ABCD es la mitad de la pirámide levantada a partir del cuadrado circunscrito en el círculo.
Y la pirámide levantada a partir del cuadrado alrededor del círculo es mayor que el cono, porque ésta lo incluye
Por lo tanto la pirámide con base el cuadrado ABCD y el mismo vértice que el cono es mayor que la mitad del cono.
Biseccionamos las circunferencias AB, BC, CD y DA por los puntos E, F, G y H y trazamos AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces cada triángulo AEB, BFC, CGD y DHA es mayor que la mitad del segmento del círculo ABCD en el que está.
Ahora, en cada triángulo AEB, BFC, CGD y DHA levantamos pirámides con el mismo vértice que el cono. Entonces cada pirámide levantada de la misma manera es mayor que la mitad del segmento del cono en el que está.
Así pues, biseccionando las circunferencias que quedan, trazando líneas rectas, levantando pirámides en cada triángulo con el mismo vértice que el cono, y haciendo esto repetidamente, dejaremos algunos segmentos del cono que serán menores que el exceso con que el cono excede la tercera parte del cilindro. [X 1].
Dejamos éstos, y sean los segmentos AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces la pirámide restante con base poligonal AEBFCGDH y el mismo vértice que el cono, es mayor que la tercera parte del cilindro.
Pero la pirámide con base poligonal AEBFCGDH y el mismo vértice que el cono es la tercera parte del prisma con base poligonal AEBFCGDH y la misma altura que el cilindro, entonces el prisma con base poligonal AEBFCGDH y la misma altura que el cilindro es mayor que el cilindro de base circular ABCD.
Pero también es menor, porque lo incluye, lo cual es imposible.
Entonces el cilindro no es menor que el triple del cono.
Pero ha sido demostrado que tampoco es mayor que el triple. Entonces el cilindro es el triple del cono, de modo que el cono es una tercera parte del cilindro.
Por lo tanto, cualquier cono es la tercera parte de un cilindro con la misma base e igual altura.
Q.E.D.

 

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D.E.Joyce

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