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PROPOSICIONES LIBRO V

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 -
16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25

 

Proposición 1. Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas.

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Proposición 2. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta.

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Proposición 3. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta.

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Proposición 4. Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera guardaran la misma razón con cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente.

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Proposición 5. Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra, que una magnitud restada a la primera lo es de otra restada a la segunda; la magnitud que queda de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud que queda de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.

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Proposición 6. Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes restadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las que queden también son o bien iguales a las mismas o bien equimúltiplos de ellas.

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Proposición 7. Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.

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Proposición 8. De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor, y la misma magnitud guarda con la menor una razón mayor que con la mayor.

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Proposición 9. Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las cuales una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

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Proposición 10. De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.

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Proposición 11. Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre si.

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Proposición 12. Si un número cualquiera de magnitudes fueran proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así lo serán todas las antecedentes a las consecuentes.

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Proposición 13. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta.

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Proposición 14. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si es menor, será menor.

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Proposición 15. Las partes guardan la misma razón entre sí que sus múltiplos, tomados en el orden correspondiente.

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Proposición 16. Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

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Proposición 17. Si unes magnitudes son proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación.

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Proposición 18. Si unes magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición.

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Proposición 19. Si tal y como un todo es a otro todo, así es una parte restada de uno a una parte restada de otro, la parte que queda será también a la parte que queda tal y como el todo es al todo.

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Proposición 20. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor.

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Proposición 21. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y la su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

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Proposición 22. Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.

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Proposición 23. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón.

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Proposición 24. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntamente, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.

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Proposición 25. Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos que quedan.

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