English - German - Portuguese - Arabic - Italian - Catalan - Russian - Chinese - Spanish
Els fonaments de la geometria: Teoria dels triangles, paral·leles i l´àrea
Transformacions d´àrees i àlgebra geomètrica grega de
l´escola pitagòrica. S´estableixen les equivalències geomètriques
de diferents identitats algebraiques i una generalització del Teorema
de Pitàgores coneguda com la llei dels cosinus. Sembla voler aquest
Llibre II il·lustrar l´ús del desenvolupament elemental del mètode
d´aplicació d´àrees. Aquest volum tracta d´aquells Teoremes relatius a la
circumferència, les cordes, les tangents i el mesurament d´angles.
Consta de les 11 definicions i 37 proposicions, 5 de les quals són
problemes i les altres teoremes. No el podem considerar un volum
excel·lent pel que fa al caràcter sistemàtic deductiu.
Definicions
( 11 )
Aquest volum contempla les construccions pitagòriques,
amb regla i compàs dels polígons regulars de 3, 4, 5, 6 i 15 costats.
Consta de 7 definicions i 16 proposicions que són totes problemes.
S´estudien inscripcions i circumscripcions de figures rectilínies
i cercles, i s´ofereix la construcció de polígons regulars, com el
pentàgon i l´hexàgon amb el mètode de la duplicació de costats.
Aquest volum conté una exposició magistral de la teoria
de la proporció aplicable a magnituds commensurables i
incommensurables. Es va resoldre així el problema plantejat pel
descobriment pitagòric dels nombres irracionals.
Aquest volum conté la teoria eudoxiana de la proporció. S´estableixen els Teoremes fonamentals dels
triangles semblants i les construccions de la tercera, la quarta i la
mitjana proporcional. S´estableix una solució geomètrica a les equacions
quàdriques i la proposició que la bisectriu interna de l´angle d´un
triangle, divideix el costat oposat en dos segments proporcionals als
altres dos costats.
Juntament amb els Llibres VIII i IX formen
un bloc diferent a l´estructura que es dóna dels volums I-VI i acumula les
definicions en aquest Llibre VII. En total comprenen 102 proposicions i
podem dir que són investigacions de caràcter teòric amb la intenció, per
exemple, de determinar la mesura comú màxima entre si de dos nombres no
primers. De fet aquest volum és una reconstrucció del llegat aritmètic
d´arrels pitagòriques.
Aquest Llibre VIII s´ocupa de sèries de
nombres en proporció continuada i en progressió geomètrica, concepte i
noció que no queda definida.
Aquest Llibre IX és una espècie de
miscel·lània aritmètica. Hi trobem com a primícia la moderna ressolució
unívoca d´un número en els seus factors primers i el Teorema que estableix
la quantitat infinita dels nombres primers. Hi podem trobar també teories
d´origen pitagòric que parlen de nombres parells, senars i les seves
relacions.
Aquest volum conté i tracta els nombres irracionals, és a
dir, dels segments que són incommensurables respecte al segment rectilini
donat. Considerat el Llibre X com un volum complexa tant pels problemes
de traducció com de interpretació. Consta de 16 definicions repartides
en 3 grups i 115 proposicions. Es creu que gran part d´aquest volum
correspon al treball de Theaetetus i que Euclides va completar, ordenar
i acabar. Definicions
I ( 4 )
Proposicions 1-47 Definicions II ( 6 ) Proposicions 48-84 Definicions III ( 6 ) Proposicions 85-115
Formant una espècie de
trilogia, els Llibres XI-XII i XIII parlen de la geometria de l´espai.
Les 28 primeres definicions en aquest Llibre XI i cap postulat configuren
75 proposicions, 63 de les quals són teoremes i les altres 12 són problemes,
encara que estiguin presentades aquestes darreres com a proposicions
mixtes.
Mesurament de figures
Aquest Llibre XII
nudreix dades bàsiques pel desenvolupament del Llibre XIII amb
menys cohesió i menor capacitat sistemàtica. S´utilitza
el mètode d´exhausció comentada per Arquímedes.
Sòlids regulars
D´estructura
interna sublim aquest excepcional Llibre XIII inclou els dilectes 5
sòlids platònics; a saber, tetraedre, hexaedre,
octoedre, dodecaedre e icosaedre. Tots ells evocant
amb rigor matemàtic sense precedents les lleis de l´espai
euclidià que exorna el Timeo de Plató.
|
