El llegat de les matemàtiques:
D´Euclides a Newton, els genis a través dels seus llibres.

Renato Alvarez Nodarse
http://euler.us.es/~renato/
Professor de Matemàtiques
Departament de Anàlisi Matemàtic
Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Sevilla

Filosofia i matemàtiques van néixer juntes a Grècia al voltant del segle VI a. C. La imprompta filosòfica va generar raonaments matemàtics deductius partint de premisses precises, això vol dir, la matemàtica tal i com avui en dia l´entenem.

Comença, doncs, aquesta Exposició amb dues obres de Plató; la seva influència en el desenvolupament posterior de les matemàtiques arriba als nostres dies. Podeu veure un manuscrit de 1401 de La República de Plató. Per a Plató la matemàtica no només era una realitat perfecta, sinó que era l´autèntica realitat de la qual el nostre món quotidià no és més que un reflex imperfecte; per tant, els conceptes de la matemàtica són independents de l´experiència i tenen una realitat pròpia, hom els descobreix i no pas se´ls inventa o crea: «els matemàtics poden utilitzar dibuixos i raonar sobre ells», va escriure Plató a La República, «però sabent que no estan pensant en aquells dibuixos en concret, sinó en el que representen; així, són el quadrat absolut i el diàmetre absolut els objectes del seu raonament, i no pas el diàmetre que ells van dibuixar».

D´aquesta manera Plató conclou que la matemàtica ha de ser independent de qualsevol pragmatisme empíric i de la utilitat immediata i a més a més aquesta ha de servir d´introducció a l´estudi de la Filosofia i exercir de fonament a qualsevol saber humà. Plutarco explica a la seva obra Vides Paral·leles la indignació de Plató contra aquells que «degradaven i deixaven perdre el més excel·lent de la Geometria en traslladar-la de l´ incorpori i intel·lectual al que és sensible i utilitzar-la en els cossos que són objecte d´oficis rudimentaris i manuals».
Sens dubte l´obra culminant de la matemàtica grega, que encara avui aixeca passions entre els matemàtics i científics en general és de segur Els Elements d´Euclides. Generalment es creu, erròniament, que els Els Elements d´Euclides contenen únicament un resum sumari i exhaustiu de tota la Geometria grega. En realitat Els Elements  van supusar la gran síntesi no només de la producció geomètrica grega fins al segle III a. C. sinó també d´un compendi, utilitzant el llenguatge geomètric, de tota la matemàtica elemental: Geometria plana i espacial, Aritmètica i Àlgebra. En relació a això va escriure Proclos: «Són singularment admirables els seus Elements de Geometria (d´Euclides) per l´ordre que regna en ells, la selecció dels  teoremes i problemes agafats com a elements i també la varietat dels raonaments desenvolupats de totes les maneres i que condueixen a la convicció» i més endavant expressa «Els Elements són una guia segura i completa per a la consideració científica dels objectes geomètrics».

Inclourem aquí quatre exemplars dels Elements d´Euclides. El primer és una primera impressió (fotografia 1), un incunable de 1482 imprès per Ratdolt en el qual a més a més apareixen impresos per primera vegada figures geomètriques en el seu ampli marge de més de 8 cm. Al seu costat, un manuscrit grec dels segles XI-XII (fotografia 2) on podem admirar el famós pentagrama místic dels pitagòrics per la seva relació amb la raó àurea a la qual va cantar el famós poeta Rafael Alberti. També podem veure l´edició princeps (fotografia 5) -o sigui, aquella edició considerada de referència pels experts i que no té perquè coincidir amb la primera edició tal com passa en aquest cas - deguda a Simón  Grynadeus el vell a Basilea al 1533. A sota, una primera edició en castellà ralitzada per Rodrigo Zamorano (fotografia 4) utilitzant probablement l´edició llatina de Ratdol ja que reprodueix la confusió d´Euclides amb el filòsof d´Euclides de Megara d´aquest últim.

Els Elements han estat la primera obra matemàtica fonamental que ha arribat fins als nostres dies, el text més venerat i que major influència ha tingut en tota la història de la matemàtica. De fet, després de la Bíblia, són Els Elements d´Euclides l´obra que més edicions ha conegut des que Gutenberg va inventar la impremta.  Els Elements estan constituïts per XIII llibres que contenen 465 proposicions, totes vertaderes, que han resistit el pas del temps com cap altra obra científica mantenint-se vigent i insuperada al llarg de més de 2300 anys. Dit això no és d´estranyar que d´aquesta magnífica obra es nodrissin quasi tots els grans matemàtics posteriors: Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, .... És per això que Einstein escriu de l´obra «És meravellós que un home sigui capaç d´assolir un grau tan elevat de certesa i puresa fent ús exclussiu del seu pensament», o Bertran Russel «la lectura d´Euclides als 11 anys fou un dels grans esdeveniments de la meva vida, tan enlluernador com el primer amor ».
Si hom considera a Euclides el gran sistematitzador i mestre de la matemàtica grega, aquesta assoleix el seu
zenit amb la figura d´Arquímedes: un dels més grans matemàtics i científics de tots els temps. A Arquímedes se li deuen innombrables càlculs d´àrees i volums; alguns tan importants i difícils com l´àrea de la superfície esfèrica o l´àrea d´una volta d´espiral. A partir del segle XIII es va recuperar la seva obra a Europa Occidental, però no fou fins al segle XVI quan els matemàtics van tornar a adquirir la suficient capacitat per a entendre-la.

Arquímedes era natural de Siracusa però es va formar a Alexandria sota la corresponent influència de la ideologia platònica d´una matemàtica essencialment teòrica i abstracta. No obstant això, l´activitat d´aquest geni fou extraordinàriament original i diferent de la ciència alexandrina ja que va barrejar, enfrontant-se contra tots els prejudicis platònics, tècniques extretes  de la Mecànica, de l´infinitesimal, l´operatiu. No obstant això, si bé aquest era el seu modus operandi, ho amagava expressament a l´escriure les seves obres -excepte una tal i com veurem a continuació- ja que totes elles tenen l´estructura euclideana: comença per les hipòtesis per a passar a proposicions impecablement demostrades utilitzant generalment el mètode d´exhaució d´Eudoxo -per la qual cosa coneixeria amb anterioritat la solució-. Això últim va donar peu a les sospites de molts matemàtics -Wallis i Barrow entre ells- de que Arquímedes tenia un mètode. 

Fou l´historiador de les matemàtiques Heiberg qui, el 1906, va trobar un palimpsest conservat a Istambul dels segles XII-XIV on, a sota de diversos textos litúrgics, van aparèixer diferents obres d´Arquímedes inclosa una obra anomenada El Mètode. En aquesta obra, Arquímedes explica com utilitzant procediments mecànics no rigurosos descobria els seus genials teoremes però que ara sabem que fou la casualitat i no pas la seva voluntat el motiu d´amagar-los fins a principis del segle XX. Inclourem en aquest apartat dedicat a Arquímedes dues obres. Una (fotografia 6) és la primera edició de les obres completes incloent El mètode editada el 1910 per Heiberg -l´única obra impresa posterior al segle XVIII de l´exposició. Està oberta per la pàgina corresponent a la corbatura d´un segment esfèric. L´altra obra  (fotografia 7) no és propiament una obra d´Arquímedes. Es tracta de la ja anomenada Vides paral·leles de Plutarco. És un incunable de 1491 traduït per Alfonso de Palencia i editat a Sevilla. D´aquesta obra de 1491 en podem veure una marca manuscrita al marge, que ens condueix a un peu de pàgina, també manuscrit, on podem llegir: "a archimede geometrico matarô los romanos", i es refereix precisament al pasatge on es narra la mort d´Arquímedes a mans d´un soldat romà durant la invasió de Siracusa per les tropes del general Marcelo.

Contemporani d´Arquímedes fou el tercer talent grec: Apoloni, el matemàtic greg a qui devem l´estudi millor i més complet de les còniques : circumferència, el·lipse, hipèrbola i paràbola. La seva obra s´ha perdut quasi tota excepte aquelles que Pappus cita a la seva obra Tresor de l´Anàlisis. L´obra d´Arquímedes més important és, sense cap mena de dubte, Les Còniques (fotografia 8) , que dels 8 llibres dels que consta, només han arribat fins a nosaltres els set primers. En aquesta obra, Apoloni estudia en detall les còniques i els hi dóna el nom amb el qual les coneixem avui en dia. Els termes el·lipse, hipèrbola i paràbola procedien del llenguatge dels pitagòrics i signifiquen deficiència, excés i equiparació. Incloem una fotografia de l´edició preparada per Barrow a 1675 dels tres primers llibres encara que l´edició princeps hauria d´esperar encara 35 anys.

La matemàtica grega mai més recuperaria l´esplendor de l´època d´Euclides, d´Arquímedes i d´Apoloni, encara que van continuar amb matemàtics de gran talla: Nicòmac, Herón, Ptolomeo i, sobre tot, Diofanto i Pappus. 
Al primer li devem la famosa obra L´Aritmètica (
fotografia 9) on Diofanto introdueix per primera vegada una sèrie d´abreviatures per a les incògnites i les operacions aritmètiques iniciant el que avui es coneix com a Àlgebra sincopada i és considerat per molts com el pare de l´Àlgebra que estava per venir.  De tots els problemes considerats per Diofanto, el més famós és, sense dubte, el problema vuitè del llibre II que diu: «Descompondre un quadrat en suma de dos quadrats», és a dir, resoldre l´equació x2 + y2 = a2. Poc temps més tard, aquest problema donaria lloc a un dels més famosos teoremes de les matemàtiques: L´últim teorema de Fermat ,que diu així: «L´equació xn + yn = ano té solucions senceres per cap n excepte n = 2 ». Concretament Fermat va escriure al marge de l´edició de L´Aritmètica de Bachet que deia així:  «És impossible descompondre un cub en dos cubs, un biquadrat en dos biquadrats, i en general, una potència qualsevol, a part del quadrat, en dues potències del mateix exponent. He trobat una demostració realment admirable, però el marge del llibre és molt petit per posar-la ». La nota de Fermat fou descoberta pòstumament pel seu fill Samuel de Fermat que la va incloure a la seva edició de L´Aritmètica. Incloem dues versions d´aquesta genial obra. La primera (fotografia 10) és un magnífic manuscrit grec del segle XVI dels primers sis llibres. La segona (fotografia 9) és precisament l´edició que va preparar el seu fill i que conté les notes de Fermat -vegeu la Observatio domini Petri de Fermat en la fotografia- i data de 1670. El segon, Pappus, és considerat com l´últim gran geòmetra grec.  A ell li devem La Col·lecció matemàtica, (fotografia 11)obra d´un inmens valor històric gràcies a la qual coneixem avui en dia els treballs de molts matemàtics grecs -com per exemple Apoloni-. Incloem aquí la primera impressió d´aquesta important obra editada per Federico Commandino a Venecia a 1589. Fou a partir d´ella que resurgeix l´interés a mitjans del segle XIX per la història de la matemàtica grega i que donaria com a fruit impressionants edicions de les obres d´Euclides, Arquímedes, Apoloni, Diofanto, Pappus, etc. Després de Pappus ja només trobem comentaristes com Teón, la seva filla Hipatia o Proclo. El final de la matemàtica i, en general, de la ciència grega ho simbolitza la terrible mort d´Hipatia a Alexandria: fou brutalment torturada i assessinada per un grup de cristians exaltats per Cirilo -després San Cirilo- el març de l´any 415 d. C. Explica un historiador de l´època «la van tancar en una església anomenada Caesium; la van despullar; li van arrancar la pell i li van desgarrar la carn del seu cos utilizant closques afilades, fins que el seu últim alè va sortir del seu cos; l´esquarteraren; van portar els seus trossos fins a un lloc anomenat Cinaron i els cremaren fins a reduir-los a cendra». Van ser temps complicats per als científics i, terribles, si a més a més de científic hom era dona. Com a final a aquesta secció de la nostra exposició, incloem un manuscrit grec del segle XVI que conté els comentaris de Teón, pare d´Hipatia, a les Harmòniques. 


Fotografies originals

De República de Plató
(Manuscrit llatí de 1401)
fotografia 1



Els Elements d´Euclides
(Manuscrit grec del segle XI)
fotografia 2



Els Elements d´Euclides
(Primera edició de 1482)
fotografia 3



Els Elements d´Euclides
(Primera edició en espanyol a 1576)
fotografia 4



Els Elements d´Euclides
(Edició Princeps de 1533)
fotografia 5



Archimedis opera omni, Heiberg 1910
(Inclou l´obra perduda El Mètode
d´Arquímedes)
fotografia 6



Vides paral·leles, Plutarco
Sevilla a 1491
fotografia 7



Les còniques, d´Apoloni
Edició preparada per Barrow, Londres 1675
fotografia 8

Primera edició de L´Aritmètica de Diofanto amb notes de Fermat
Tolosa 1670
fotografia 9



Les harmòniques de Teón
(Manuscrit grec del segle XVI)
fotografia 10



Primera edició impresa
de La col·lecció de Pappus
Venecia 1589
fotografia 11




índex

Traducció al català 2002/2003 JDL de l´exposició
El llegat de les matemàtiques: D´Euclides a Newton, els genis a través dels seus llibres.

Renato Alvarez Nodarse
Professor de Matemàtiques del Departament de Anàlisi Matemàtic
de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Sevilla
 

© Copyright 2005 JDL euclides.org