Las transformaciones del espacio de infinitas dimensiones
Jaume Aguadé
Departament de Matemàtiques
Universitat Autònoma de Barcelona

Article publicat a La Vanguardia, 17 de novembre de 1990
(34) 93 581 1867
aguade@mat.uab.es
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Si bien la base cultural geométrica de los hombres del renacimiento estaba formada por la geometría de Euclides, lentamente se va perfilando una nueva (visión de la) geometría, que podríamos llamar más humanizada. La geometría de Euclides parece la geometría de un dios: se basa en el concepto de líneas paralelas, pero las paralelas de Euclides no las ha visto nadie, pues el mero hecho de la visión introduce los puntos de fuga, hace convergentes los haces de rectas paralelas. Los puntos de la línea del horizonte, que posee una existencia real en cualquier dibujo en perspectiva, no forman parte del mundo euclidiano. Sin embargo, las necesidades prácticas de la representación gráfica y, quizás, el proceso filosófico renacentista, condujeron a la necesidad de una geometría consistente con las nociones de punto impropio o recta del horizonte.

Newton, tras desarrollar la compleja teoría de clasificación de las cúbicas o curvas de tercer grado, observa, en un curioso apartado titulado "sobre la generación de curvas por sombras" que, del mismo modo que las tres cónicas (elípse, hipérbola y parábola) pueden obtenerse a partir de la sombra de una sola de ellas, toda la multiplicidad de las curvas de tercer grado puede obtenerse a partir de 5 de ellas por sombras. Vemos aquí un ejemplo de utilización de la proyección central en el estudio de los problemas geométricos.

La introducción de elementos ideales o impropios y la tendencia a considerar equivalentes las figuras que pueden transformarse una en otra por proyección central condujo al nacimiento de la geometría proyectiva, como una completación del espacio euclídeo, mediante la adjunción de los puntos del infinito. El espacio proyectivo se convierte, pues, en el marco general de los fenómenos geométricos. La recta proyectiva será la misma recta de Euclides con su único punto del horizonte, que la cerrará sobre sí misma: tendremos una circunferencia. El plano proyectivo poseerá, además de los puntos euclídeos, toda una circunferencia del horizonte que, también, lo cerrará sobre sí mismo, por cuanto al otro lado del horizonte tendremos nuevamente los puntos del plano de Euclides. Conviene observar que el espacio proyectivo es homogéneo: los puntos impropios en nada se distinguen de los demás y, en el marco proyectivo carece de sentido la distinción entre puntos euclidianos y puntos impropios.

Paralelamente a la introducción de los puntos impropios se produjo la lenta introducción de los puntos imaginarios: como un recurso técnico en primer lugar, como una atrevida introducción de nuevos puntos ideales más tarde, hasta entender que el espacio de la geometría ordinaria no es más que una sección de un universo mayor, modelado sobre los números complejos, del cual solo vemos la parte real. Podemos preguntarnos si con la adjunción, al espacio ordinario, de los puntos impropios y los puntos imaginarios ya tenemos el marco más general posible para los fenómenos geométricos. En cierto modo, la respuesta es sí, pero todavía es posible ampliar la geometría introduciendo puntos "más allá de los complejos". Hamilton, en 1843, observa que, si aceptamos renunciar a la propiedad commutativa de la multiplicación, es posible definir un cuerpo de números H, el cuerpo de los cuaterniones, de dimensión 2 sobre los números complejos.

La geometría proyectiva sobre H tiene un comportamiento relativamente salvaje, pero el espacio proyectivo cuaterniónico es un objeto topológico importante, íntimamente relacionado con un objeto geométrico fundamental: La esfera de dimensión 3. Esta esfera puede pensarse como el espacio tridimensional ordinario con un punto en el infinito en el cual convergen todas las trayectorias que se alejan hacia el infinito. De un modo más geométrico, la esfera de dimensión 3 puede imaginarse formada por dos hemisferios que son esferas macizas, unidas por su ecuador común, que es una esfera de dimensión 2. El espacio proyectivo cuaterniónico (de infinitas dimensiones) es el espacio clasificador de la 3-esfera. Este término hace referencia a la clasificación via el espacio proyectivo, de los fibrados principales de grupo la 3-esfera.

Recientemente, se han producido espectaculares avances en el estudio de la topología de los espacios clasificadores. En particular, se ha podido clasificar todas las transformaciones continuas del espacio proyectivo cuaterniónico en sí mismo (salvo homotopía). Este resultado, que confirma la intuición de que estos espacios son considerablemente "rígidos", ha sido posible gracias a la teoría genética de los espacios, introducida por Sullivan hacia 1970. Según Sullivan, los espacios, además de su aspecto geométrico o fenotipo, tienen un genotipo que los determina, formado por un sustrato racional y una familia de genes, uno para cada número primo. Esta teoría permitió desarrollar una cierta "ingenería genética" para el estudio de los espacios, con todo lo que ello comporta: construcción de monstruos o quimeras, creación in vitro de nuevos genes o nuevas transformaciones entre espacios. Estas técnicas se emplearon para la determinación de todas las transformaciones del espacio proyectivo cuaterniónico, los genes del cual son todos muy sencillos, excepto el correspondiente al primo 2 que fue, de todos modos, el primer gen modular sintetizado. En la actualidad se está relativamente cerca de la síntesis de todos los genes de los espacios clasificadores, la cual, cuando esté terminada, nos dará un control completo sobre la estructura topológica de estos espacios.

Jaume Aguadé
Universitat Autònoma de Barcelona




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