Antropología
de los Números:
Un enfoque filosófico
Víctor Manuel Alarcón Viudes
Sociólogo
Antropólogo Social y Cultural
Postgrado en Historia de las Ciencia y las Técnicas
Miembro de la Sociedad Española de Historia de
las Ciencias y las Técnicas (SEHCYT)
El presente ensayo constituye un acercamiento, desde la perspectiva
de la
antropología social y cultural y, más específicamente,
de la
cognitiva y simbólica, al análisis de un fenómeno asociado
a la práctica totalidad de las formas culturales: el fenómeno de
los números y la matemática en general; con un estudio más centrado
en el pensamiento numérico y matemático propios de la cultura occidental.
He prestado una especial atención a la obra del
antropólogo
y matemático Thomas Crump
La Antropología de los números
y a la de Georges Ifrah
Historia Universal de lasCifras: La Inteligencia
de la Humanidad contada por los Números y el Cálculo,junto a
la de Leslie A. White. "El lugar de la realidad matemática: una
referencia antropológica" que forma parte de la obra general sobre
el mundo de los números y la matemática
Sigma: el mundo de la
matemática dirigida por
James R. Newman. El trabajo de
T. Crump, en la citada obra, sigue presupuestos de la
antropologíadel
conocimiento y de
las formas simbólicas.
Toda cultura creada por el hombre ha manifestado la necesidad
de concebir sistemas de recuento y de medición vinculados a las
necesidades prácticas de los grupos y colectividades humanas. Para
la existencia del fenómeno cultural de los números y la matemática
es necesario la existencia de un mundo natural previamente dado
y de un cerebro, que interactuando entre ellos, hace posible esa
grandiosa manifestación de la cultura a la que llamamos "matemática"
—la aritmética se subsume en la matemática general como un
constituyente esencial de ésta—. No es la única. Fenómenos
como el Arte, la Religión, la Filosofía, la Ciencia, etc. son, a
su vez, otras tantas formas de expresión e intelección de la mente
humana en su intento de aprehensión cognitiva de la realidad.
El conocimiento se realiza bajo el presupuesto de la
existencia de un mundo constituido de energía/materia que se despliega
creando el espacio y el tiempo como función de la dinámica propia
de la topología de ese mismo espacio constituido a partir de la
concepción primordial a la que se refiere la teoría cosmológica
de "la gran explosión" o Big Bang. Los sistemas más o menos dinámicos
(teoría del Caos) generados por la
autopoiesis cósmica encaja
subsistemas de energía/materia hasta conformar organizaciones cada
vez más complejas para derivar en los sistemas sociales y culturales,
altamente complejos, desde un
alfa hasta un
omega
que sería éste la culminación en el Hombre de un principio teleológico
que desemboca en el fenómeno espiritual (Teilhard de Chardin,
El
fenómeno humano).
Junto a los aspectos pragmáticos de la función matemática,
con la creación cultural del número y de la aritmética, —como
vehículo de un cálculo garantizador de determinadas operaciones
asimiladas a la pragmaticidad de la vida cotidiana de los grupos
sociales— la realidad matemática se mueve también en el plano
de lo cognitivo y de la vida mental en sus ramificaciones psicológicas
y simbólicas. El signo/símbolo que emana cognitivamente del grafismo
matemático es el agente transmisor del
concepto cuya dimensión
se adentra en la estructura misma de la realidad. La relación se
establece entre la matemática —como ciencia y arte—,
la mente (los aspectos cognitivos y simbólicos como ejercicio natural
que realiza la mente humana dotada de una conformación evolutiva)
y el conocimiento. Todo ello se vincula al mundo y a su estructura
ontológica
1.
En nuestros días, la matemática cumple una función fundamental
en todas las ciencias y saberes técnicos, no sólo en las ciencias
de la naturaleza sino en las ciencias sociales incluida la
antropología
con el manejo de la teoría de juegos, la teoría de catástrofes,
la estadística y métodos de investigación social, la investigación
operativa, la teoría del caos, los sistemas dinámicos, etc. En este
sentido merece especial mención la colaboración estrecha entre Lévi-Strauss
y el gran matemático francés André Weil, recientemente fallecido,
en la obra
Las estructuras elementales del parentesco. La
aplicación de la matemática en el
estructuralismo antropológico
se centra en la descripción y estudio de las propiedades de los
grupos de transformación o la de las matrices, entre otras subramas
de la matemática. Actualmente, la matemática se ha hecho universal
desde la concepción occidental de tal forma que hoy en día los matemáticos
chinos, japoneses o hindúes trabajan con las concepciones y métodos
de la matemática evolucionada desde siglos atrás en Occidente. Sin
embargo, las aportaciones históricas de la matemática india, china
o del mundo árabe son fundamentales en la misma concepción que Occidente
tiene en la actualidad de la matemática. Conceptos como el de "algoritmo"
"álgebra" o "cero" son deudores de la matemática árabe e india respectivamente.
Otras manifestaciones del hacer matemático se realizan fuera de
estas grandes corrientes de la labor de los matemáticos seguidores
de las grandes vectores de este conocimiento. El proceso dialéctico
entre la Naturaleza y la Cultura se lleva a cabo por procesos de
intercambio entre los sistemas ecológicos y los sistemas culturales.
Mi tesis es que se ha producido un proceso evolutivo de corte direccional-lineal
desde una situación de máxima presencia de la Naturaleza con un
mínimo de Cultura, hacia una situación de degradación del componente
Naturaleza así como el de la Cultura; en el que estaríamos situados
en la actualidad con el "pensamiento único" y la cultura del "kitsch"
en el arte o la literatura por citar dos aspectos donde éste se
manifiesta con mayor insistencia.
Los pitagóricos consideraban el
número como el
último constitutivo de las cosas, la sustancia de las cosas. No
estaba separado de ellas. Universo y matemática eran los dos aspectos
de una misma realidad cósmica. Con Platón se desarrolla un modo
de entendimiento característico del ser de la matemática. Los entes
matemáticos están ahora separados de las cosas, viven en un supramundo
de las
Ideas. El acceso a estos entes se realiza por medio
de una penetración cognitiva en ese
empíreo donde habitan
las entidades tales como los números o las figuras perfectas geométricas
(ideales) y que sólo se "realizan" imperfectamente en el dibujo,
que representa esa idealización absoluta dotada de existencia propia
y que no se hace analógica con la Naturaleza más que como copia
imperfecta de ésta. Este mundo ideal ni tan siquiera precisa del
concurso de los sentidos. Su aprehensión se realiza por medio de
las funciones del intelecto puro en un ejercicio de la mente emparentada
con el
nous, capaz de una contemplación extática del mundo
verdadero; el mundo de las
Ideas. El nexo se recoge en el
mito cosmológico del
Timeo, sustituyendo al vínculo ontológico
de los pitagóricos. Platón cree en la idealidad y exactitud de esta
ciencia cuyos teoremas expresan verdades eternas, necesaria y universales,
accesibles al pensamiento puro y no refutables por los datos empíricos
que pueden proporcionar los sentidos.
En los
pitagóricos observamos cómo es a través
del
número que la intelección del Cosmos se hace posible.
La significatividad de esto para la noción de orden, propuesto por
la
mente humana en su fundamental y primaria realidad, se
ancla por medio del mundo exterior, de lo natural dado como realidad
que se supone objetiva y que es entendida como realidad preexistente,
a esa otra realidad ideal sin la cual no sería posible el orden
cósmico. La
mente matemática, en su actividad primera, produce
un
cosmos de certidumbre y de regularidad, presente en los
fenómenos por medio del número; lo que supone una transformación
realizada por la
mente gracias al sentimiento de que existe
un mundo de realidad que es posible entender. Junto a ello, el componente
místico del número asocia una realidad
"exterior
"
a un plano metafísico. En el pensamiento pitagórico no siempre es
fácil desligar el campo de la realidad inmediata, de la cual informa
los sentidos, de esa otra
"realidad
"
que se vincula a la existencia de las
Ideas y con ello, de
una presencia en la conciencia de la absoluta certeza de un mundo
suprasensible que está más allá de los sentidos. El componente mirífico
lleva aparejado un sentido de religiosidad, condición necesaria
de lo sacro, y por lo tanto de lo místico que es un elemento esencial
de la concepción del mundo por parte de la escuela pitagórica y
que constituye un presupuesto insoslayable insito en su propia organización
como secta matemático-religiosa.
En el caso de Aristóteles, su planteamiento ontológico
proporcionará el vínculo entre la matemática y la naturaleza permitiendo
establecer una conexión natural entre las dos. Los entes matemáticos
son inseparables de las cosas sensibles, pero posteriores a ellas.
Es un proceso de abstracción el que permite pasar de las cosas de
la naturaleza a las de la matemática.
El signo claro de la geometría euclídea ha marcado la
formulación de la creencia en torno a la matemática y al conocimiento
mismo, de una forma que parecía definitiva hasta el siglo XIX. Esto
cambió con la creación de las geometrías no-euclídeas de Riemann,
Bolyai, Lobatchesvsky y "proseguidores" de la concepción gaussiana
de una nueva geometría; ocultada en el momento histórico de nacimiento,
por Gauss por lo que él llamaba "miedo a los beocios".
Con Leibniz la razón se instala en el trono. Su intento
de construir la
lógica como ciencia indubitable que garantiza
la idoneidad de los razonamientos humanos se asocia a la matemática
como paradigma de racionalidad. Sin embargo, la matemática no está
fundamentada meramente en los principios de la lógica, y necesita
el concurso de principios extramatemáticos como los de la metafísica.
Es, por un lado, un saber dotado de un principio de necesidad, es
decir, dotado de verdad indubitable y, por otro, un saber sometido
a la contingencia de la Historia: la matemática es una verdad, pero
inscrita en el transcurrir de lo histórico. Éste es el sustrato
donde la matemática se manifiesta. Asociado a la noción de
verdad,
se encuentra la de
certeza; asociado a la de
contingencia,
la de
falibilidad. Pero ésta se da como error pasajero a
superar por el despliegue del desarrollo matemático. El carácter
necesario de la matemática tiene su mejor prueba en su propio desarrollo
matemático. Se parte de este carácter necesario y, en su desenvolvimiento,
la matemática va encontrando sus modos característicos de actividad
que tienen como cometido ir explicitando a estos.
Es posible entender la matemática como un "esquema" de
la realidad, un "esquema" lógico. La pregunta fundamental la realiza
Thomas Crump:
"¿Los números forman parte de una realidad que existe independientemente
de las vidas y muerte de los seres humanos individuales y la grandeza
y la decadencia de las civilizaciones?"
2
Dar una respuesta afirmativa a este interrogante sería tanto
como adscribirse al platonismo. Los números no existen de esta
forma. Son una abstracción realizada por la mente humana. A
cada objeto o conjunto de objetos se le asigna un símbolo que
representa una cierta cantidad de miembros de ese conjunto.
Estos símbolos tienen la forma "1", "2", "3",... son signos,
grafismos sobre el papel pero podrían tomar cualquier otra forma
sígnica. De hecho las ha tomado a lo largo de la evolución de
las diferentes culturas del mundo3.
Definidas unas determinadas operaciones
—que se cumplirían en la realidad empírica— es posible
realizar cálculos a partir de estos símbolos. Así, por ejemplo,
la serie ordenada de los números naturales 1, 2, 3, 4,... (ordinalidad)
es posible dividirla en dos grandes categorías: aquellos números
que son pares; es decir, que se pueden dividir en dos partes
exactas (alícuotas) y aquellos que no lo son, los números impares.
Esto ya es una propiedad de los números en tanto que representantes
de objetos en un sentido de cantidad (cardinalidad). Igual sucede
con los números primos. Una vez que vemos que hay números primos
y otros que no los son podemos preguntarnos cuestiones acerca
de esos números primos: si son finitos o infinitos; si existe
alguna ley de formación de números primos o no, si la "conjetura
de Goldbach" es verdadera, etc. A esa pregunta inicial de Crump
respondemos: el marco de referencia donde se producen los procesos
cognitivos es la sociedad y la cultura y esto es un evolutivo
histórico que se vincula al organismo y al cerebro humano.
La matemática es una lógica numérica estructural. Pero
quizás lo que llamamos "número" forma parte del nombrar del
lenguaje (en realidad sólo existiría el lenguaje en este sentido).
El lenguaje nombra cosas materiales o conceptuales; y los números
son entes conceptuales abstractos. Los símbolos "1", "+", "?
f(x) dx", "D", "p",
"S", "?", son también lenguaje
o el resultado del lenguaje. De tal forma que cada uno de ellos
es posible formularlo con una expresión en lenguaje natural.
Así, tendríamos las siguientes expresiones respectivas: "uno",
"más", "integral de la función efe de equis, diferencial de
equis", "incremento", "pi", "sumatorio", "infinito".
Podemos entender la matemática como
el estudio de las relaciones
que forman estructuras a partir de los entes conceptuales de tipo
abstractos a los que llamamos números. Esto incluiría a la
propia geometría ya que esta es reducible a números. Tendríamos
la serie siguiente: números relaciones estructuras. Y la matemática
sería el estudio de las estructuras
verdaderas. El lenguaje
sería una de las propiedades fundamentales. Sin el lenguaje no
se puede contar y para contar nos valemos de esos signos/símbolos,
tan familiares para nosotros, como son los números naturales,
que están ordenados de menos a mayor con una diferencia-unidad.
Así, por ejemplo, el hombre prehistórico sabe que 20 animales
son más animales que 8; no sólo porque se aprecia a golpe de vista
sino porque inicia un sistema de recuento que le es muy útil cuando
el número a comparar de animales es muy grande. Sin embargo, en
la actualidad algunos
antropólogos han observado que en
tribus llamadas "primitivas" los autóctonos son capaces de calcular
a simple vista, con un error mínimo, el número de piedras u otros
objetos de pequeño tamaño; mientras el investigador, cuando intenta
hacer lo mismo, obtiene un error marcadamente más significativo.
Esto hace suponer que nuestro sistema de recuento ha hecho que
se perdiera un sentido innato de la cantidad cuando el número
de objetos es muy grande aunque nuestro sistema sea mucho más
preciso si se sigue el método de conteo propio de nuestra base
10
4.
La matemática
se constituye en la
lógica de la realidad. Primero referida
a la realidad natural: mundo–universo, luego también a la
realidad cultural. Es un esquema de la estructura de la realidad
y es lógico porque esa estructura de la realidad es lógica ya
que
es la estructura y no puede ser meramente
una
estructura que podría ser a–lógica o ilógica. Es la lógica
propia de la realidad. Lo real es "lo que es". El matemático también
pertenece a la realidad. Lo real se "auto conoce" en la matemática
a través de la
mente del matemático. Todo pertenece a la
realidad, inclusive los pensamientos del matemático
5.
En
el sistema nervioso del matemático se produce una gran síntesis
cultural de carácter matemático. Pero esa lógica, conviene no
olvidarlo, es una lógica específica, estrechamente imbricada en
un sistema cultural y social concreto que está sometido a procesos
de cambio en el tiempo social. Los objetos matemáticos (p. ej.
los números) son
construidos (factor de creación) por la
mente. Suponen una cierta idealización Estos objetos matemáticos
son conceptos que son fijados, "descritos" por un simbolismo convencional
(Poincaré). La matemática es la ciencia de las relaciones verdaderas
entre determinados conceptos. Cuando se ha realizado esta construcción
idealizada se posibilita el
descubrimiento: las
relaciones
que se van conociendo se imponen como proposiciones a demostrar.
No es propiamente un juego. Si fuese un juego podríamos crear
el axioma:
a + (b x
c) = (a+b) x
(a+c) (1)
—que como sabemos, es falso— y no lo hacemos. ¿Por
qué
a x
(b+c) = (a x
b) + (a x
c)?
Esto, los matemáticos lo toman por un axioma, es decir, como una
verdad indubitable que no requiere de demostración alguna. Los
axiomas constituyen el ápice invertido de una pirámide que crece
en complejidad y contenido. ¿Dónde reside la verdad de esto? Nosotros
no podemos realizar cálculos de ingeniería con la fórmula (1).
Esto nos lleva a pensar en una base empírica para la matemática
que, en un proceso temporal, va destilando una
síntesis
que es recogida y almacenada como conocimiento específicamente
matemático. Es el caso, por ejemplo, de los
Elementos de
Euclides. Con los
Elementos se realiza la primera gran
síntesis de la antigüedad que recoge aspectos de la matemática
egipcia y mesopotámica (el llamado "difusionismo" cultural) así
como de la griega; pero —y esto es lo importante—inaugura
el método de la
deducción para la demostración de teoremas,
aspecto inexistente en el conocimiento matemático previo, egipcio
o babilónico. Ahora, cada teorema es demostrado por teoremas,
a su vez, previamente demostrados en un proceso retrorecursivo
que remitiría, en última instancia, a los propios axiomas. Los
theorémata son el resultado del
theorein que es
la contemplación de las verdades sublimes de los Dioses y que
han de traducirse en los
mathémata o ¡¡enseñanzas morales!!
Pero también los
mathémata son las ideas que ponen de manifiesto
la estructura fundamental del mundo y los secretos del
Cosmos
(buen orden), que no son sino de carácter numérico. ¡Qué vínculo
tan intenso entre la verdad moral como saber supremo de tipo divino
y la matemática! Este aspecto es el que es recogido por la escuela
de Pitágoras de Samos y su concepción del número como algo sagrado
que revela la estructura prístina del universo. El simbolismo
matemático es un arcano de vieja sabiduría que ha de ser descifrado
por una hermenéutica del texto matemático. La matemática como
un "saber hierático" (por ejemplo, esto aparece en el mundo del
antiguo Egipto donde el saber matemático está vinculado a la casta
de los sacerdotes) y el matemático como un hierofante o mistagogo
de ese saber. Este aspecto se recoge en toda la tradición cultural
incluida la de Occidente
6.
La
relación entre la visión cosmológica y etnocientífica es especialmente
aguda en este punto. La interpretación "ingenua" del mundo dota
a éste de un sentido religioso o sacro que fundamenta la vida
anímica del hombre tanto en las culturas "primitivas" como en
las desarrolladas donde las formas de lo religioso adquieren un
alto grado de complejidad: "La interpretación numérica del lenguaje
escrito, que es la esencia del
seimeigaku, es también la
base de la Cábala, una forma de misticismo judío que se ocupa
del "problema de reconciliar a un creador perfecto y unificado
con una creación fragmentada y discordante"
7.
El significado
místico de los números
aparece en la tradición occidental con la secta de los pitagóricos
donde una parte de su sabiduría deriva del orfismo y del viejo
saber sagrado. En la matemática actual esta visión ha quedado
empañada por los logros culturales de la matemática
formalista.
No obstante muchos matemáticos son partidarios de pensar en la
existencia previa de los entes matemáticos localizados en un mundo
suprasensible de las
Ideas platónicas que sería como el
molde previo del cual la actividad diaria del matemático extrae
su conocimiento. En la postura actual: "Occidente ha desechado
un tanto la idea del significado místico de los números, pero
no es más que un síntoma de la separación aceptada popularmente
entre religión y ciencia, que sigue estando mucho menos marcada
en Oriente. En la tradición cristiana, San Agustín era totalmente
consciente del significado místico de los números, como lo fueron
sus sucesores de la iglesia occidental, incluso hasta la época
de la Contrarreforma, más de mil años más tarde".
8
Si lo
Místico (en términos de Ludwig
Wittgenstein) no es preguntarse "cómo" es el universo sino percibir
que el universo "es"; esto
es lo sagrado. Y si la matemática
responde mucho más que la física (que se pregunta el "cómo es"
del universo) a una percepción de que el universo "es", entonces
la matemática puede ser mística (de aquí el saber sagrado, los
pitagóricos, etc.). El problema es que la matemática está sujeta
—en algún sentido referido a su concepción— al
tiempo9
(por la idea de Brouwer de la secuencia temporal en la creación
de la serie natural); ¿cómo puede ser entonces algo místico si
el ser místico supone lo intemporal según toda la corriente de
sabiduría de la
Philosophia Perennis (la frase fue acuñada
por
Leibniz). Pero Wittgenstein habla de que lo Místico
es justamente percepción del límite, de la limitación, de la temporalidad,
no de la infinitud y la atemporalidad. Lo Místico aparece justamente
cuando la serie no tiene límite. En su sentido interno, la matemática
no estudiaría, en términos generales, el tiempo. En ella no está
incorporada el tiempo en el sentido en que lo está en las ciencias
físicas, donde constituye una variable esencial. Lo que está en
el tiempo se mueve (es más, el tiempo existe porque hay movimiento.
El tiempo
es movimiento): lo que está quieto es intemporal;
lo que está quieto es infinito; lo que está en movimiento es finito:
"La idea de Tiempo, como la idea de Dios, es una de esas categorías
que consideramos necesarias porque somos animales sociales más
que debido a algo empírico en nuestra experiencia objetiva del
mundo"
10.
Para
Brouwer, la matemática deriva de la "intuición primordial" del
tiempo. Siendo la matemática previa a la lógica frente a la concepción
logicista (el
logicismo matemático) de G. Frege
y B. Russell de que la matemática es reducible a la lógica. Pero,
mientras la lógica está en relación con el lenguaje, la matemática
lo está con respecto a determinadas
construcciones del
pensamiento cuya esencia estriba en "fluir" incardinado al tiempo
biológico del organismo humano y al cosmológico, activados en
forma de "conciencia". La pregunta es: ¿Por qué la
mente
crea los
entes matemáticos? Según Brouwer
11:
el
tiempo (sucesión-serie de los números naturales: 1, 2,
3...), el espacio (para la geometría, topología...). Los
intuicionistas,
al igual que algunas corrientes interpretativas del conocimiento,
consideran que no es posible ir más allá de la intuición en lo
que respecta al saber. La certeza máxima está garantizada por
una intuición primera (el tiempo). En este sentido, los fenomenólogos
han incorporado su concepción de la
"epojé"
o suspensión de la tradición del conocimiento como
"reducción
fundamental
" —fenomenológica—
para la captación no deformada del objeto por un sujeto puro de
conocimiento. Lo que se nos da es el
"fenómeno
".
Al menos en un punto, la creación o experiencia matemática tiene
una conexión con lo empírico en la medida en que el aporte que
hace posible esa "única intuición primordial" viene dado por la
existencia del mundo real, es decir, de los datos sensibles. La
percepción del
tiempo es posible gracias a la existencia
de un mundo empírico y de las sensaciones internas de la conciencia
a través del aporte sensorial y de los ritmos interiores del organismo.
Con relación a la concepción trascendental de la lógica: el "tercer
reino", los pensamientos u objetos, están "fuera" en un reino
platónico. La
mente capta estos objetos. Frege niega el
elemento mental del número: "En primer lugar está [Frege] negando
que un número es una propiedad que pertenezca a una cosa, sea
individual o colectiva. En segundo, está también negando que el
número sea algo subjetivo, un elemento mental. Los conceptos son
para Frege independientes de la mente [...]"
12.
Podemos concebir un espacio independientemente
de una percepción (del percibidor). Pero ¿podemos concebir el
tiempo independientemente de un contemplador? El tiempo no existe
objetivamente. El tiempo es función de la topología del espacio
(Einstein). A un nivel más local, el tiempo es creado por la
mente.
Es una
percepción interna que resulta de la conciencia
y del pensamiento. El contenido de la conciencia
es la
conciencia y ésta es memoria, que es resultado del tiempo a su
vez. El espacio puede ser objetivo en un sentido mucho más fuerte
que el tiempo. Aquí el tiempo existe interiormente: es percibido,
medido, etc., interiormente. El tiempo es un acto mental; una
intuición
a priori. Supongamos que el universo se "congelara";
en un universo quieto existiría el espacio pero no el tiempo.
El tiempo
es transformación: cambio. Para el concepto de
durabilidad (Bergson: "duración")
ya tenemos que emplear
el concepto de tiempo. Un universo quieto ¿sería infinito o finito?
"Lo que requiere el tiempo es el sentido del "carácter intrínseco
de un acontecimiento" (Whitehead)"
13.
El aspecto
pragmático de lo numérico
esta vinculado a la vida cotidiana y a sus exigencias. Se relaciona
con el cómputo de los días con una base cíclica que se repite
indefinidamente: "En la práctica, el simple cómputo de los días,
sin hacer referencia a ningún otro periodo, sólo puede tener lugar
sobre una base cíclica, como la que se encuentra en los siete
días de la semana. "Esto proporciona el punto de partida para
un sistema de numeración basado en la teoría matemática de las
congruencias, que ha sido empleado para contar diferentes unidades
de tiempo —desde horas a unidades que comprenden varios
años— en muchas culturas sin ninguna conexión entre sí".
14
Lo que la matemática pretendería, en última
instancia, es el descubrimiento del
misterio de lo real,
del
Mundo en definitiva (como las otras ciencias) a través
de la matemática "pura". Todo se encamina a la comprensión de
lo que llamo "
la estructura oculta": la ciencia le va "comiendo
terreno" al misterio y, en este sentido, estamos principiando
.
A ello le impele la propia mente del matemático. La mente de éste,
en su origen, es ingenua, desconoce el mundo pero está dotada
de una capacidad
neoténica que le posibilita su
propia reestructuración continua por medio de un aprendizaje que
no alcanza jamás fin. Lo que hace la
mente matemática es
desenvolverse, como producto de su actividad interior, en íntima
correspondencia con la estructura oculta del mundo, revelándola.
La matemática se adecua tan exactamente a la realidad porque la
mente —que construye, en parte, ella misma esa realidad—
es producto de esa realidad natural que es realidad cósmica, universal;
y dado esto, no le cabe otra posibilidad que intentar explicar
lo más fielmente posible el mundo a través de las herramientas
conceptuales que se va fabricando a medida que va requiriendo
nuevos conceptos y utilidades matemáticas. Gottlob Frege es uno
de los lógicos-matemáticos que no sitúan a la matemática fuera
del campo de la absolutez apodíctica; es decir, no le concede
un estatuto de relativismo. Sitúa a la matemática dentro de lo
que los
sociólogos y
antropólogos describen como
ciencias
" nomotéticas
"
; esto es, aquellas que producen y se desarrollan a partir de
Leyes —en este caso las
"
leyes del pensamiento
" (Boole)—
que prescriben regularidades insoslayables, necesarias y universales.
Situadas las matemáticas en un mundo propio, lo que hace el matemático
es descubrir sus leyes descubriendo
"
pensamientos verdaderos
" (el matemático
como investigador-descubridor). La física, por ejemplo, también
trabaja con la noción de Ley científica pero no necesita, en principio,
concebir conceptualmente una realidad metafísica para dar cuenta
de los fenómenos de la naturaleza. Otra cosa es que las visiones
de muchos físicos se encuentren teñidas de concepciones no necesaria
ni meramente
" fisicalistas
"
; así acontece, p. ej. con determinadas concepciones metafísicas
de Einstein y otros autores con basamento metafísico, o deberíamos
decir: "pre-físico". La pregunta es la de si son necesarias, tanto
para las ciencias naturales como para la matemática, estas conceptualizaciones
" previas
"
con respecto a su particular ciencia. Dos aspectos en Frege son
fundamentales para una interpretación antropológica de los números
y la matemática: el sentido y la referencia. Si el símbolo matemático
ha de tener sentido y referencia ¿Cuáles son estos?
El sentido:
supone una semiótica del signo/símbolo matemático. Esto pertenece
a una "filosofía del lenguaje" matemático.
La referencia:
los entes matemáticos ¿se refieren a algo objetivo o sustancial,
algo que, v.g., está en el mundo de lo sensible y de la experiencia?
¿O son meros entes de razón? Y en este último caso, ¿no está también
la razón sujeta al plano de lo sensorial/empírico? Podemos integrar
la propuesta de la Teoría Evolutiva del Conocimiento y entender
la
razón como el resultado de infinitos ajustes adaptativos
de tipo cognitivo que maximizan la supervivencia en un medio que
pasa de lo natural a lo cultural con un incremento exponencial
de su complejidad sistémica. Por otra parte, Piaget también ha
analizado, desde el punto de vista de la
psicología evolutiva,
los diferentes estadios de desarrollo del niño hasta llegar al
pensamiento formal
15.
Junto
a ello, Fry también ha considerado la relación entre el lenguaje
y la construcción de los números: "Con el lenguaje, base de todo
progreso intelectual posterior a los dos años de vida, el proceso
se completa esencialmente a final del quinto año y en cada caso
la fisiología del cerebro debe corresponderse entonces, de un
modo u otro, a la estructura de la lengua materna"
16.
Es decir, la fisiología de cerebro —estructuras
de redes neuronales— se ha "adaptado" a la estructura de
la lengua materna produciendo un isomorfismo entre una estructura
lógica propia de lenguaje y una biológica, material. Así, los
entes matemáticos "están" en la mente del matemático, codificados
en redes con intercambio sinápticos. El matemático lo es porque
"posee" estos entes. Es decir, hay pensamientos de estos entes
en un cerebro y a este cerebro lo llamamos "matemático. Que se
sitúen en el papel (como sostendrán los
formalistas17)
estos
símbolos, representantes de los entes matemáticos, no supone más
que una fijación del componente eidético (en el sentido en que
es empleado por la psicología: como tendencia a convertir los
procesos mentales en imágenes) de la mente, en un soporte concreto.
Actúa de apoyatura "objetiva" gráfica, sígnica, del pensamiento
matemático. Para el
formalismo los
"
entes
" matemáticos no tienen existencia
sino es en el papel. La matemática se reduce a un juego de relaciones
formales donde aparecen explícitas las reglas de operatividad
internas al discurso matemático. La prevalencia de la
"
forma
" sobre el contenido posible
de tipo empiricista es absoluta; al igual que sobre una posible
" existencia
"
de dichos entes en un mundo supraempírico, preexistente fuera
del espacio y del tiempo. Lo que tiene relevancia es la consistencia
interna de la matemática —de aquí el interés de Hilbert
por fundamentar la matemática sobre bases absolutamente ciertas.
Por esto Hilbert —en un intento de certeza apodíctica—
desarrolló la metamatemática como un cálculo formal a su vez sobre
las propias estructuras generales de la matemática. El "advenimiento"
del
teorema de Gödel supuso la prevalencia de las cuestiones
relacionadas con la Incompletud, Indecibilidad e Indeterminación.
El problema del significado y la relación con la realidad que
tienen las matemáticas en la filosofía
formalista, es quizá,
la objeción más fuerte que se le puede hacer al programa del formalismo
puro. Se puede dar el caso de una correspondencia de la matemática
con la realidad
a posteriori, casi como un feliz accidente.
El problema de un formalismo extremo es que es posible la creación
de
sistemas formales que sean completamente arbitrarios
(convención como un juego; p. ej. el ajedrez), es decir creaciones
libres de la
mente que no tengan correspondencia con la
estructura de lo real. Una de las cuestiones, a mi entender, más
interesantes de esta problemática es la de dilucidar justamente
este último punto. ¿Es posible que toda creación libre matemática
tenga
a posteriori una correspondencia con la realidad?
En sentido fuerte ello significaría que existe no una matemática,
sino una multiplicidad de matemáticas posibles y que todas ellas
explicarían formalmente el universo-realidad. Para ello cabe suponer
que —sosteniendo el principio de la relación implícita Universo-Mente-Matemática—
toda creación de la
mente supone un principio subyacente
de correspondencia con lo real. El intento hilbertiano de fundamentar
la matemática en bases inamovibles se ve cuestionado con los trabajos
de K. Gödel. Es una "propiedad" interna de los sistemas formales:
estos no son garantes de la consistencia endógena. Además, la
cuestión de la correspondencia de la matemática con respecto al
mundo real queda en suspenso y trasladada al problema de la
Verdad;
que es un problema ontológico propio de la filosofía, pero incorporado
a los fundamentos de la matemática a través de la noción de
verdad
matemática que es "verdad"
dentro del sistema de teoremas.
Si ésta se reduce al formalismo, no se garantiza una noción de
autenticidad asimilada a la de Verdad (en sentido ontológico),
ya que es siempre posible la construcción de sistemas formales
arbitrarios mientras sean consistentes y no produzca contradicciones
en el circuito teorético por la explicitación de los axiomas,
las reglas lógicas de inferencia y deducción en la estructura
y los métodos lógico-formales característicos de las demostraciones
matemáticas. Se entiende que es posible esta creación. La cuestión
significativa es la de si esta creación tiene relevancia ontológica
sobre el mundo
"real
".
A la postre, construcciones que fueron entendidas como
"de
libre creación de la
mente" han
tenido su importante correspondencia en desarrollos posteriores
de la matemática y en aspectos de fundamental aplicación a la
técnica y al propio discurrir del conocimiento matemático.
Si la
referencia es el universo —con respecto a la
matemática—, ¿qué razón hay en el platonismo matemático?.
Los entes matemáticos no existen en algún lugar del universo —en
forma física u objetiva—, pero tampoco en un mundo suprareal
—en un
empíreo suprasensible—, en una especie
de mundo hiperreal de las
Ideas— pero pueden ser
consecuencia de este universo. Como si la "arquitectura" del universo
sea matemática y la
mente matemática la aprehenda a través
de su actividad: Universo
Þ Mente
Þ
Matemática
Þ Universo (¿la "armonía
preestablecida" de Leibniz?). No se trata de
esencialismo
sino de la
estructura abstracta de lo real: el elemento
mínimo que subyace a esa realidad y que es inmanente a ella. La
realidad puede ser
Una pero se manifiesta en una apariencia
de diversidad: es el mundo de los objetos diferenciados de la
naturaleza (un montón de piedras, hojas de un árbol que están
dispersas en el suelo... Esencialmente, la separación de los objetos
o la heterogeneidad manifiesta de la realidad. Ello permite el
contar, el medir, etc. Es decir, la existencia de un espacio donde
aparecen objetos físicos es condición
sinequa non para
la acción primaria del contar aunque sea en forma rudimentaria
como sucede en algunas culturas. Pero no sólo son los objetos
físicos, sean naturales o producidos por la mano humana, los que
son susceptibles de ser contados sino que también es posible el
recuento de determinados
ciclos que regulan la vida comunal.
Así, el contar estaría también asociado al cómputo de los días,
de las estaciones, de los meses y años; pero también a una percepción
interna del paso del tiempo que se realiza por medio de la captación
del devenir temporal del que informa el propio envejecimiento
del cuerpo y de los procesos orgánicos de nacimiento, crecimiento,
madurez y muerte que sufre la propia vida como condición inexcusable
de ésta. Lo importante, según nuestra postura, es que el conocimiento
matemático es resultado de la interacción entre el cerebro humano
y el mundo; lo que produce la experiencia de cada sujeto. En efecto,
el
número no es una propiedad que pertenezca a una cosa
sea individual o colectiva, como sostendrá Frege. Ahora bien,
el punto que niega la subjetividad del
número y que éste
no sea un concepto mental ya es más problemático. Se necesita
el mundo y la mente para crear el concepto de número. Y en esta
relación, el
número está también presente en la subjetividad
de una conciencia humana como demuestra precisamente el hecho
de la limitación numérica que existe entre determinadas colectividades.
Este concepto ha aparecido de forma gradual desde hace miles de
años. Se necesita la existencia del espacio-tiempo y la de la
mente.
El número aparece como resultado de la invarianza de
las relaciones cuantitativas respecto al tipo de "objetos".
Es decir, se puede usar el mismo signo/símbolo "7" para designar
cuantitativamente a siete manzanas o a siete piedras; pero, igualmente,
ese número puede indicar el ciclo de los días de la semana para
constituir, a su vez, los ciclos de más amplitud como son los
meses y los años. En la relación
R
: espacio/tiempo-mente debe existir este aspecto: la existencia
de "objetos" diferenciados, susceptibles de ser contados. Esta
operación es la que realiza los primeros miembros de la especie
Homo o la que se encuentra en tribus "primitivas" algunas de las
cuales cuentan de la forma siguiente:
uno, dos tres... muchos,
al no tener desarrollado un sistema posicional complejo como el
nuestro, fundamentado en la base 10; lo que parece ser resultado
de un
antropomorfismo vinculado a la cantidad de dedos
de las manos. Durante algunos periodos de la evolución humana
ha sido posible contar en base 20 como resultado de la unión de
manos y pies para esta labor. El
antropólogo Leslie A.
White ilumina estos aspectos de la siguiente manera: "No hace
falta decir que las matemáticas no se originaron con Euclides
y Pitágoras, ni siquiera con los pensadores del antiguo Egipto
y Mesopotamia. Las matemáticas fueron un desarrollo del pensamiento
que tuvo su principio con el hombre y la cultura hace un millón
de años aproximadamente. Naturalmente, se hicieron poquísimos
progresos durante ciento de miles de años. Pero todavía hoy encontramos
en la matemática sistemas y conceptos que fueron creados por gentes
primitivas prehistóricas de la Edad de Piedra, de las cuales se
encuentran restos entre las tribus salvajes de hoy. El sistema
de contar de diez en diez proviene de usar los dedos de ambas
manos. El vigesimal de los astrónomos mayas surgió de contar con
los dedos de pies y manos y
calcular es contar con
calculi,
guijarros. Una
línea recta era una soga estirada de
lino,
etc."
18 Podemos
esquematizar este proceso de la forma siguiente: Mente—Espacio—Tiempo—Objeto
? Número. Estos
"objetos" son de variado tipo. Naturales primero, artificiales
después. Entonces, un signo/símbolo matemático como el número
constituye un "esquema", un "resumen", un "código" reducido a
un grafismo que denota o designa una
proposición cuantitativa
existencial. Es decir, el signo-símbolo "7" designa la proposición
cuantitativa existencial "existen siete objetos". Esto supone
una forma de relación entre la mente humana y el mundo. Como sabemos,
no es la única. Otras son el lenguaje natural, el arte, la música,
la tradición, las creencias, la religión, lo sagrado, etc. También
en los animales ha de haber algún sentido de "número" por ejemplo
cuando una presa es atacada por varios depredadores al mismo tiempo
o cuando la defensa se realiza a partir del número de miembros
de una manada. El modelo teórico de la matemática ha ido siendo
creado por el matemático: axiomas, etc. Y luego pasa a desarrollarse
con las definiciones y teoremas. La estructura va creciendo como
una construcción
19
que se va montando con un sentido sistémico. Hay dos aspectos
claves: la "verdad" de los axiomas y cómo se crean las
definiciones.
En este aspecto es muy relevante la capacidad de la misma
demostración
matemática para generar posibles definiciones o para producir
la apertura necesaria para una
heurística del descubrimiento
matemático que se va enlazando a partir de la experiencia acumulada
por los matemáticos en un entorno cultural singular concreto que
es resultado, a su vez, de un desarrollo de las formas de la cultura.
La "auténtica matemática" no es un ejercicio puro de formalismo.
Para que sea "auténtica" ha de tener referente. Se pueden crear
infinitos sistemas formales ¿pero tienen todos ellos referente?
Esto supone, a mi juicio, un gran problema para la matemática.
El formalismo no se plantea esta cuestión de la referencia. Ni
tan siquiera tiene en cuenta la propia historia de la matemática
y sus reconstrucciones racionales asociadas a conjeturas, a la
especulación y la crítica y a la propia "lógica" de las pruebas
y refutaciones en una matemática que es hasta el siglo XIX (hasta
la "rigorización del Análisis" efectuada por Cauchy) una matemática
"informal" y cuasi-empírica. Si la matemática es el producto de
la "intuición fundamental": el
tiempo; y si es un
a
priori (kantiano), resulta que está instalada en la
mente.
La intuición fundamental del tiempo sería previa a la intuición
de la matemática, ya que aquella hace posible a ésta. El modelo
de conocimiento, en el sentido kantiano, permite observar cómo
éste tiene una estructura de tipo recursivo que está conformada
por subestructuras encajadas. De este modo, el conocimiento matemático
es posible interpretarlo a la luz de la estructura del conocimiento
general. El modelo sería propio de la cultura de Occidente y su
sentido ha de ser entendido desde esta perspectiva. Un análisis
de las formas del conocimiento en otras culturas específicas ha
de ser singular y concretamente referido a cada forma cultural
estudiada. En este sentido, v.g. la noción de tiempo del mundo
chino estaría asociada a un movimiento lineal, de larga duración
frente a la visión más cíclica propia de la cultura occidental.
La construcción cultural de Occidente se realiza bajo la condición
de posibilidad del conocimiento creador por parte del
Homo
Sapiens Sapiens; que depende, a su vez, de una serie de funciones
de la mente humana asociadas a determinadas categorías. Kant formuló
una serie de estas categorías de la mente que permiten el conocimiento.
Lo que nos interesa fundamentalmente es la distinción kantiana
entre
noumeno y fenómeno que conlleva la inaprehensibilidad,
por parte de la mente, de
"la
cosa en sí
" que permanece incognoscible
para el sujeto. Podemos seguir aplicando esta idea sobre sí misma.
Es decir, sobre la idea de la distinción fenómeno/noumeno. Existirá
una serie de estructuras infinitamente encajadas.
I1 Ì I2Ì
I3 Ì...Ì
In—1ÌIn
Ì In+1Ì…...Ì
I¥
Podemos hablar de un
"Espacio
de lo intelectual
" que supondría
la misma distinción noumeno/fenómeno y toda
representación
intelectual/cultural sería
fenoménica ya que estaría también
mediada por la mente humana (al igual que la primera representación
en el
"Espacio de lo sensorial
")
y, por tanto, no podríamos acceder al núcleo duro (
noumeno)
de la propia idea que consistiría en lo que ésta tiene de
"verdad
absoluta
" independientemente de
un pensador; p.ej.: la propia idea kantiana I
1. La
indagación/especulación es lo propio del uso de la razón filosófica—o
uso de la razón por conceptos con un marcado carácter lingüístico—.
La extracción
a priori de conceptos es lo propio del uso
de la razón matemática —o uso de la razón por
construcción
de conceptos con unas características peculiares—. Esta
construcción es una
idealización elaborada por la mente
a partir, quizás, de algunas sugerencias que aporta la Naturaleza.
Históricamente, las relaciones entre filosofía y matemática han
fecundado importantes desarrollos mutuos que han puesto de manifiesto
el carácter
" asociativo
"
de ambas disciplinas. En este sentido, podemos caracterizar los
"Juicios Sintéticos
a Priori" (JSP) —en su específica
pertinencia matemática a la luz de la especulación kantiana—
de la forma siguiente:
i) Proposiciones necesarias y universalmente válidas.
ii) Sintética: el predicado no está contenido en el concepto-sujeto.
iii) Al ser necesaria y universalmente válidas, son a priori.
Donde la matemática estaría constituida por esos JSP. Estas ideas
han sido significativas para encontrar el nudo gordiano del conocimiento
matemático unido al funcionamiento de lo mental. En la actualidad,
no está claro que la concepción kantiana de la matemática como
JSP pueda aportar claridad, dada una cierta contradicción entre
juicio sintético y
a priori al mismo tiempo. Con respecto
a la cuestión del
infinito, ni tan siquiera el pensamiento
holista actual es capaz de decir que el infinito tenga una existencia
in toto, ya que esto es casi una contradicción en los términos.
Sólo un sistema "cerrado" puede existir como totalidad en cuanto
subsistema cuasi-aislado que puede ser considerado, a efecto de
estudio, "cerrado". Sólo el universo puede ser un sistema cerrado
si es finito
20.
Un
sistema infinito (en potencia) en cuanto que "se está haciendo
infinito" es "abierto". Un universo inflacionario que "crece"
continuamente no puede ser caracterizado como total en la medida
en que está continuamente "haciéndose". De todos modos, las cuestiones
apuntadas por Kant todavía colean en determinados presupuestos
epistemológicos de algunas escuelas de fundamentación de la matemática.
Suponer un infinito actual matemático es sugerente con respecto
a la posibilidad de una infinitud como característica propia del
universo si lo que hacemos es asignar una correspondencia biunívoca
entre la recta real y las partículas materiales de este universo.
Si la realidad matemática se inscribe en un mundo de las
Ideas
(Platón) este mundo, asociado con lo divino/supraempírico,
es, casi por definición, infinitud: arquetipos o moldes eternos
e inmutables de los que las formas concretas son copias imperfectas.
De aquí la percepción de Kant sobre la experiencia de lo
sublime,
es decir aquello que no tiene nada más sobre sí mismo. En este
sentido el matemático sería una especie de
místico que
es capaz, a través de la práctica de su ciencia, de ponerse en
contacto con la
Realidad, último fundamento del mundo.
El científico sabe que se ocupa de
sombras, de
fenómenos.
Pero ¿se puede penetrar hasta el
noumeno? ¿Puede ser identificado
el
noumeno con la Realidad? (Dios, la Base, el Fundamento,
etc.). ¿Es el noumeno idéntico al
espíritu? ¿O el noumeno
es meramente "cosa en sí" de los objetos del mundo, eternamente
inaccesible? Pero esta "cosa en sí" también puede ser aquello
que llamamos
lo espiritual. Muchos matemáticos tienen un
sentimiento
" platónico
"
con respecto a su ciencia. Están más o menos seguros de que existe
un
mundomatemático, del cual ellos dan cuenta. Esta epistemología
de la matemática tiene vinculaciones palmarias con determinadas
concepciones filosóficas vigentes en la actualidad. ¿Por qué se
da más en unos individuos que en otros la capacidad comprensiva
y creadora de tipo matemático? ¿Un
a priori "genético"?
Estas formas creadoras y comprensivas intentarían abarcar las
manifestaciones de lo real universal a través de "campos cognitivos",
que son propios del funcionamiento de la mente humana, catalizados
por la
cultura. Las formas del conocimiento han sido estudiadas
por los
antropólogos cognitivos en una gran diversidad
de culturas. Se puede esquematiza las grandes líneas de conocimiento
en la cultura occidental del siguiente modo:
i) "Cómo es": ciencias fácticas: física, química, etc.
ii) "Por qué es": filosofía, teología, etc.
iii) "Qué es" (el asombro de que el mundo sea): mística. (Novalis
hablaba del elemento divino-sagrado de la matemática. Además:
Belleza, Bondad, Verdad en los pitagóricos y demás conocedores
de lo oculto).
El edificio de los números y la matemática que ha llegado a nuestros
días debe mucho a la concepción griega del concepto de
Demostración.
Frente a la concepción pragmática/empírica de la matemática egipcia
o babilónica cuyos cálculos, en el caso de Egipto, estaban en
función de aspectos tales como la subida del Nilo, el recuento
de la cantidad de grano almacenado en los silos, o el cálculo
—extraordinariamente exacto—de construcciones complejas
como son las pirámides, la matemática griega comienza a elaborar
un concepto absolutamente novedoso como es el citado de demostración.
Es en los
Elementos de Euclides donde se recopilan una
serie de teoremas todos ellos con demostración. A lo largo del
trascurso de la civilización occidental, posterior a los
Elementos,
el criterio de demostración ha sufrido variaciones en lo que atañe
a su rigor lógico. Así, los métodos de prueba matemática han ido
incorporando los avances y descubrimientos de la lógica formal
o simbólica aplicándolos a teoremas y conceptos cada vez más complejos.
Si ninguna
demostración es definitiva ya que los criterios
de rigor han ido cambiando a lo largo de la historia y aquella
descansa en el rigor lógico —en cada tiempo concreto esta
lógica se supone verdadera— apareciendo, además, contraejemplos,
contradicciones, paradojas y aporías, ¿dónde descansa el criterio
de verdad de la matemática? —y el de la propia lógica empleada
en las demostraciones—. Ya Russell y Whitehead se dieron
cuenta de que los principios de la lógica no eran verdades absolutas.
Podríamos suponer entonces que una demostración matemática no
demuestra lo que dice demostrar. ¿Sería la matemática no demostrable
sino tan solo
falsable, en el sentido de Popper? La llamada
"sociología de la ciencia y el conocimiento" (SCC) estudia las
condiciones sociológicas por las cuales se dan, tanto la labor
científico-matemática, como su creación. Un ejemplo de ello es
el trabajo de Merton sobre la ciencia inglesa del siglo XVII.
Existen trabajos de otros autores sobre este mismo punto con relación
a la
antropología21.
La
cuestión fundamental relacionada con la SCC es lo que yo llamo
problema del enlace; es decir: cómo se imbrica en el plexo
de la realidad la mente y la sociedad, lo individual y lo colectivo,
los estados de conciencia personales y los "estados" sociales
y qué repercusiones existen entre conciencia y sociedad y, particularmente,
entre la mente científica y la sociedad considerando también sus
subsistemas. Mill es un protoevolucionista del conocimiento —el
cerebro permite la abstracción matemática—. Pero esto, en
Kant puede ser interpretado en igual sentido, al ser la intuición
del espacio-tiempo un acto cerebral. Es claro que sin cerebro
no es posible tanto la creación matemática como su prolongación
en la teoría. Es muy difícil de concebir para teorías avanzadas
de la matemática que éstas tengan un contacto directo con lo experiencial,
es decir con el mundo natural directo: v.g. la Teoría de Grupos
Continuos (Pontriaguin). No se ve cómo un teorema puntero de esta
teoría pueda ser el resultado de
"
generalizaciones inductivas de la experiencia
"
como han sostenido algunos filósofos de la matemática. No obstante
lo verdaderamente interesante es que sí lo fuese. El "concepto
formal" es, en sí mismo,
"lo existente
".
Puede ser calificado de
"objeto
formal
" creado por la
mente.
Cuando este "concepto formal" es muy "avanzado" se pierde —si
es que existe— totalmente su conexión con el basamento de
experiencia que supone Mill. El problema se remite al aspecto
"real-empírico" del cerebro como entidad física. Ahora bien, algunos
autores identifican
hardware con
software en el
cerebro. Éste sería mero "programa" (líquido). No habría, por
lo tanto un continente que tuviese un contenido memorístico-informacional;
si no que el cerebro, en sí mismo, es información tanto filogenética
como ontogenética; hecha posible por el desarrollo evolutivo y
la aportación de memoria-información, realizada por la "experiencia"
de la vida de ese cerebro. Contemplamos una prevalencia de la
matemática sobre la
lógica. La epifanía matemática-lógica
toma cuerpo con los matemáticos griegos que son los primeros en
realizar demostraciones y en sistematizar el conocimiento matemático
en un
corpus coherente. Muchos autores sostienen que la
matemática es un saber que es ontológicamente previo al de la
lógica. El elemento lógico en la matemática está presente, fundamentalmente,
merced a la estructura deductiva asumida en las demostraciones.
La lógica simbólica, con el uso de reglas relativamente sencillas
usadas en las demostraciones, es el cemento que mantiene unido
a los teoremas de los sistemas matemáticos. Se ha dicho que la
lógica es la higiene que practica el matemático para confirmar
o refutar lo que la intuición le va sugiriendo. De todas formas,
su uso es imprescindible porque la intuición se ha revelado falsa
en varias ocasiones en la historia de la matemática. Hay una cuestión
colateral a este punto: es la de someter a la misma lógica a criterios
de fundamentación similares a los de la matemática. En rigor,
existen variadas lógicas: las lógicas Polivalentes, las lógica
Borrosas —junto con la matemática Borrosa— lógica
del Tiempo, lógica Deóntica, etc. Por lo tanto, la lógica está
sometida también a su propio desarrollo y a la creación de nuevas
ramas y campos totalmente novedosos. El interés de los matemáticos
por fundamentar su ciencia en cimientos absolutamente sólidos
ha llevado a estos a una búsqueda incesante de procedimientos
y utillajes que les permitieran
"estar
seguros de su ciencia
". En ninguna
otra ciencia se dan unas características de búsqueda de rigor
tan extremas como en la matemática. Todo conocimiento en las otras
ciencias se supone provisional y sujeto a modificaciones drásticas
cuando así lo exijan los nuevos datos y las nuevas teorías. La
aparición de la
"ciencia revolucionaria
"
modifica los paradigmas existentes hasta la fecha. La noción de
Kuhn, que contrapone la
"ciencia
normal
" a la
"ciencia
revolucionaria
" es una de las
concepciones de más éxito en las últimas décadas de la filosofía
e historia de la ciencia. El intento de fundamentación matemática
obedece, sin embargo, a las características singulares de esta
ciencia, aunque ella también está sujeta a "cambios de paradigma"
como demuestra su historia p.ej. en la "rigorización del Análisis"
llevada a cabo por Cauchy o la propia Tª de Conjuntos
de Cantor.
22 El
caso de Georg Cantor es muy interesante desde la óptica
antropológica
ya que es uno de los pocos matemáticos que incorpora a finales
del siglo XIX un préstamo cultural del mundo hebreo en la notación
que utiliza para significar los
números transfinitos que
entran en juego en toda la teoría de conjuntos no ingenua. Así,
Cantor utiliza la primera letra del alfabeto hebreo (alef) para
significar el cardinal de
?
y el cardinal de
?
[
Ào = card(
?);
À1 = card(
?);
2
Ào =
À1
= 2
card(?)
= card(
?)
= c] y para formular su famosa "hipótesis del continuo": por el
teorema de Cantor,
Ào
< 2
Ào
y se sabe que
Ào
< c (donde c representa el continuo de la recta real). El teorema
siguiente expresa la relación entre 2
Ào
y c:
Teorema: 2Ào
= c.
Se puede preguntar si existirá un cardinal
b
comprendido "entre"
Ào
y c. Desde un principio, Cantor sostuvo la conjetura, conocida
por Hipótesis del Continuo, de que la respuesta a tal pregunta
es negativa. Es decir: no existe cardinal
b
tal que
Ào
<
b <
c. En 1963, Cohen demostró que la Hipótesis del Continuo es independiente
de los axiomas de la teoría de conjuntos, de cierta manera en
el mismo sentido en que el postulado quinto de Euclides sobre
las rectas paralelas es independiente de los otros axiomas de
la geometría. Es decir, Cohen demostró la indecibilidad de esta
proposición; si la teoría de conjuntos es no contradictoria, se
le puede añadir como axioma la hipótesis del continuo o su negación.
Los elementos históricos, epistemológicos y de fundamentación
de la ciencia matemática nos permiten un acercamiento y estudio
de los componentes, más o menos ocultos, de este saber. La matemática
se revela como un conocimiento extraordinariamente apasionante
por sí mismo, y como la herramienta más poderosa que el ser humano
ha utilizado nunca para la comprensión del universo —la
matemática se emplea en todas las ciencias y muy en especial en
la física más avanzada, donde esta ciencia está más matematizada—,
del que formamos parte interesada. De alguna manera, la matemática
es una gran invención del hombre y de esta invención se vale para
descubrir los secretos que permanecen ocultos a su intelecto.
Weierstrass sostenía que
"El verdadero
matemático es un poeta
"; es el
componente
estético de la matemática subyacente a ésta
al mismo tiempo que es guía de su desarrollo y de un cierto criterio
de plausibilidad de sus teorías. La
Verdad matemática está,
de este modo, en íntima relación con la Belleza. En este sentido,
la matemática ha sido comparada en multitud de ocasiones con un
Arte de la mayor singularidad. Es característico del desarrollo
último de una ciencia, que ella misma nos lleve a plantearnos
determinadas cuestiones que están asociadas íntimamente a las
cuestiones de sus
fundamentos. La razón duda, a la postre,
de la razón. Es precisamente ensanchando el
organon como
se produce el avance y el crecimiento de una determinada ciencia.
Lo es endógena y exógenamente. La matemática necesita el concurso
de los propios matemáticos activos y de los pensadores matemáticos
y filósofos que reflexionan y especulan con visiones —muchas
veces diametralmente opuestas— sobre los cimientos, por
así decirlo, de su actividad. Sin embargo la mayoría de los epistemólogos
más conocidos se han ocupado de la filosofía de las ciencias naturales
—una excepción a lo que digo quizá la represente el físico,
filósofo de la ciencia y matemático, Imre Lakatos— y en
mucha menor medida de la filosofía de la matemática, siendo, en
muchos casos, los propios grandes matemáticos del pasado y de
la actualidad, los que se han preocupado y ocupado de los problemas
epistemológicos vía problemas históricos. Es característico de
Lakatos su hincapié en los aspectos heurísticos de la matemática.
La influencia de la epistemología de Popper lleva a Lakatos a
considerar los aspectos falsacionistas aplicados a la matemática
como relevantes en orden a la fundamentación de esta ciencia.
Posiblemente la filosofía de la matemática de Lakatos se ajuste
con mayor precisión a la actividad real de los matemáticos cuando
hacen matemáticas. Este aspecto
"pragmatista
"
de la epistemología matemática casa bien con la
praxis
operativa de su actividad característica. Frente a grandes concepciones
metafísicas, Lakatos opone un "rigor" procedimental concebido
como realización enfrentada a los problemas, cuestiones y retos
con los que se encuentra el matemático cada día al realizar su
trabajo. Determinadas estrategias de comprensión, de abordaje
de problemas, de demostración, de "pruebas y refutaciones", etc.,
son propias del oficio, y más significativas de la labor singular
de los matemáticos que las grandes abstracciones metafísicas,
ontológicas y epistemológicas más propias de la especulación de
los filósofos. Nada está más lejos de la realidad que pensar que
la filosofía lakatosiana pueda ser trivial con respecto a interpretaciones
"macro
"
de la matemática. Los
"términos
sin sentido
" son, según los positivistas
lógicos, característicos de los
"metafísicos
".
Pero Lakatos aboga por una matemática cuasi-empírica de tipo informal
que permite la entrada en juego de determinados aspectos de la
heurística y procesos de descubrimiento no-algorítmicos asociados
a la creación y al planteamiento y resolución de problemas. Lakatos
introduce un aspecto quizás prelógico; —pero también cultural
al considerar la historia de la matemática como elemento esencial
de su epistemología— aspecto, éste, criticado por los positivistas
lógicos (Carnap y otros) tanto en cuanto se tiende a identificarlo
con las concepciones metafísicas frente a las cuales se habían
posicionado los miembros del Círculo de Viena. La historia de
la matemática se inserta en el acervo de conocimientos de la Humanidad
en estrecha imbricación con los otros elementos y componentes
de la cultura; y con ello, del resto de los sistemas de la ciencia;
de tal forma que esta historia de la matemática ocupa un lugar
preeminente en el conjunto de los conocimientos al ser, no sólo
un conocimiento plausiblemente válido en sí mismo, sino uno que
es apoyatura, y multitud de veces, guía de las otras ciencias.
De los aspectos
antropológicos de la matemática es posible
aprender mucho acerca de características "internas" a esta ciencia;
pero también sobre el nexo entre creación matemática y sistema
social o condiciones de aprendizaje ambiental y cultural. Una
cuestión fundamental para la humanidad es que las capacidades
del individuo estén en armonía con unas necesidades
inteligentes
de la sociedad. Se trata de una nueva
educación para el
autoconocimiento del sujeto libre. El peso de la actividad filosófica
ha percolado el quehacer matemático de tal forma que las diversas
concepciones filosóficas han condicionado a éste al mismo tiempo
que a la propia enseñanza de la matemática. La racionalidad propia
de esta ciencia está unida a la consistencia
lógica, característica
de todo sistema formal, al tiempo que es en parte deudora de determinadas
concepciones filosóficas sobre el mundo y sobre la propia matemática.
La consistencia lógica es, como producto del despliegue del conocimiento
matemático, un resultado tardío de la labor matemática. Previamente
se ha dado, en su historia social y cultural, todo un desarrollo
más o menos acumulativo de conceptualizaciones y actividades característicamente
matemáticas que han ido perfilando su propia acumulación y que
han sido referencia y necesidad propias de la
mente matemática
a la hora de ir completando el edificio imponente del conceptualismo
matemático que ha llegado hasta nuestros días. Se ha ido gestando,
a lo largo de la historia en el marco de los diferentes sistemas
sociales y
antropológicos, un incremento del rigor
lógico al tiempo que se ha desarrollado un análisis de los propios
fundamento de la matemática que son resultado, precisamente, de
las
aporías en las que el razonamiento lógico había desembocado
aproximadamente a principios del siglo XX; de aquí la aparición
de las diversas escuelas: intuicionistas (Brouwer...), formalista
(Hilbert...), logicistas (Russell, Whitehead...), conjuntistas
(Cantor...), convencionalistas (Poincaré...). De alguna forma,
el carácter último de la matemática ha de ser fundacional o primitivo
ya que su estructura de desarrollo se erige sobre una base puntual
y limitada (al modo de una pirámide invertida) y, sin embargo,
sirve de base al desarrollo de las otras ciencias. ¿Es la matemática
una verdad ontológica que actúa como presupuesto científico —e
incluso como presupuesto epistemológico— de las demás ciencias?
A pesar del carácter primitivo, fundamental, del hecho matemático
su discurso es extraordinariamente complejo y sofisticado como
resulta patente en la matemática contemporánea tanto en el contexto
de descubrimiento ("
in fieri") como en el contexto de la
justificación ("
in facto esse") —tal y como sostiene
A. Dou—. Una de las cuestiones de mayor interés para el
antropólogo cognitivo y para el sociólogo del conocimiento
matemático es la de ser capaz de entender los elementos de causalidad
histórica y de estructuras sociales y culturales que hacen posible
la creación matemática en entornos culturales singulares; su génesis,
desarrollo, mantenimiento y las eventuales crisis que hubiesen
podido surgir como consecuencia de determinados problemas en la
práctica y fundamentos de esta ciencia. Desde la
antropología
cognitiva y simbólica, y desde la misma sociología del conocimiento
y la ciencia, ésta ha sido una cuestión espinosa donde las haya.
La prueba de ello es que los sociólogos de la ciencia y los mismos
antropólogos que estudian las representaciones simbólicas
—al igual que los epistemólogos— se han ocupado, en
general, de las ciencias fácticas, y muy poco de las ciencias
formales
23.
Así
Bloor ha desarrollado determinadas visiones en relación con lo
que para él es el caso más complicado: el estudio y análisis de
las matemáticas. Para este autor, que se ha mantenido en la línea
de los análisis de Wittgenstein en sus
Investigaciones lógicas,
sobre el llamado
" seguimientos
de las reglas
" , las matemáticas
y la lógica son modos particulares de
instituciones sociales,
o lo que es lo mismo, agregados de normas y formas de proceder
particulares que son sostenidos por la estructura basamental de
las sociedades y por procesos determinados de tipo social-cultural,
donde la actividad de los matemáticos se desarrolla. En este sentido,
cabría hablar de la determinación social y cultural de las ideas
acerca de los
números y de la matemática que de ellos deriva
(entre la que se encuentra la teoría analítica de números con
variable compleja). Bloor concuerda con el planteamiento de Wittgenstein
frente al de Mannheim —este último pensaba que las matemáticas
no están afectadas por la determinación social del conocimiento—.
De todos modos, en muchos de los estudios de Bloor no se han encontrado
más que factores derivados de la estructura de profesión y de
comunidad matemática característicos de las situaciones de ubicación
reglada profesionalmente de los matemáticos, y no de otros factores
sociales de mayor calado o amplitud. Lo interesante es saber,
por otra parte, quién habría podido ser un potencial matemático
en el caso de que las condiciones personales se lo hubiesen posibilitado.
En este sentido la estructura social está "desajustada" cuando
no están los individuos ocupando el lugar para el que un talento
potencial les capacita. En el caso español hay circunstancias
históricas, culturales, económicas, etc., que han estado y están,
infortunadamente, operativas. Matemáticos como Gauss en la Alemania
del siglo XIX, se hubiesen podido malograr de no mediar determinadas
circunstancias que colocaron, al entonces potencial matemático,
en el camino correcto que le permitiría, pocos años después, llegar
a la cumbre de la matemática de su tiempo y alcanzar logros creadores
de la máxima importancia. Un estudio más amplio y fecundo sobre
esta problemática intelectual está todavía por desarrollar. La
dificultad inherente a estos planteamientos ha hecho que los
antropólogos
no se hayan puesto —en un sentido intensivo— a la
labor de estudio y explicación de los posibles fenómenos de tipo
social, cultural e histórico que han hecho posible la realidad
de las matemáticas. Oculto entre la maraña de la labor de los
matemáticos debe encontrarse una realidad social subyacente que
fecunda esa labor y que hace posible, tanto su creación y desarrollo,
como la practicidad de las matemáticas al volcarse sobre la sociedad
que ha alimentado esa misma
praxis. Si somos capaces de
explicar los posibles vínculos entre historia, cultura, sociedad
y creación matemática, habríamos penetrado en una de las realidades
más misteriosas que existen desde el punto de vista cognitivo
e intelectual. Para ello se requiere el concurso de la historia
de la matemática y la ciencia, la
antropología de la matemática
incardinada en la
etnociencia —que contemple a la
matemática como un saber prioritario en las formas de organización
de la vida comunal a través de un mundo simbólico dotado de especificidades
propias— la sociología del conocimiento y la ciencia y los
aspectos más importantes de la epistemología, manejados en íntimo
maridaje con las
teorías estructurales y simbólicas de
la
antropología en sus aspectos más apropiados y más estrechamente
asociados a aquellas escuelas de la
teoría antropológica
que más y mejor sean capaz de explicar —a través de su herramental
conceptual— la formación y mantenimiento de la ciencia matemática;
sea a través del
estructuralismo, el
materialismo
cultural, el
difusionismo o la
antropología simbólica
y cognitiva. La controversia entre el innatismo y el ambientalismo
es, todavía, un aspecto oscuro de las ciencias sociales. Los casos
de Gauss, Ramanujan, Abel o Galois quizás sean, en este sentido,
paradigmáticos. En este punto, resulta de especial significación
los estudios en antropología social y cultural acerca de la controversia
entre cultura y personalidad así como la distinción "emic"/"etic"
con relación a los patrones culturales o al difusionismo cultural
24.
El matemático pertenece a una sociedad,
a una cultura y a una comunidad matemática que contienen una
"concepción
heredada
" del pasado: conceptual,
procedimental, epistemológica, ontológica, lingüística, simbólica,
técnica, modular... Es difícil concebir que el matemático efectúa
su trabajo
ex novo-ex nihilo. Parece más plausible pensar
que los elementos ideacionales-matemáticos son deudores de la
estructura social devenida de la Historia. Esto no supone que
no existan esferas procesuales cognitivas en la actividad matemática,
hasta cierto punto, autónomas en la mente del matemático. Espacios
de funcionamiento mental
" inherentes
"
que permitan una creación matemática dentro de la creación cultural.
La matemática siempre ha sido considerada como el paradigma de
la exactitud y la certeza. Los matemáticos habían desarrollado
su ciencia en íntimo maridaje con las otras ciencias y en especial
con la física; hasta tal punto que las ciencias naturales proveían
de ideas y problemas a la matemática con el fin de solucionar
cuestiones que se presentaban a los científicos en el proceso
de descubrimiento, es decir en la propia actividad de éstos científicos
con respecto a sus investigaciones sobre la naturaleza. No se
había cuestionado la certeza matemática ni su capacidad de aplicación
a la resolución de los problemas. La matemática consistía en una
ciencia que era, además, herramienta
heurística para las
otras ciencias. Su consistencia interna estaba asegurada por la
demostración y sobre todo por la aplicabilidad. La contrastación
de su eficacia venía dada a través de lo empírico; si una solución
científica se corroboraba en los hechos, ello significaba que
la teoría era plausible y que los fundamentos matemáticos que
la sostenían eran verdaderos, ya que los hechos de la naturaleza,
revelados por medio de la experimentación, eran la gran autoridad
y el juez supremo que aseguraba que los nuevos descubrimiento
supusieran una correspondencia, más o menos absoluta, con respecto
a los dictados de la naturaleza. De este modo, el gran libro abierto
de esta naturaleza dejaba entrever sus líneas maestras gracias
al aparato de la ciencia y a la capacidad por parte de la matemática
de ser capaz de leer esas líneas de forma bastante certera. La
matemática era, por tanto, la gran herramienta conceptual y de
investigación que poseían los científicos para comprender el Cosmos.
Históricamente, la matemática se había sometido a una reformulación
continua en lo que atañe a su propia arsenal conceptual con el
fin de cubrir las necesidades íntimas de las ciencias. El pragmatismo
inherente al quehacer matemático le aseguraba su prestigio en
la comunidad científica y en la propia sociedad. Las matemáticas
eran contempladas como la certeza máxima de la que era capaz el
ser humano para enfrentarse a los misterios del universo. Su labor
conceptual y heurística reflejaba, de algún modo, la estructura
interna de ese universo que había de ser comprendido a través
de la racionalidad humana. El impulso al descubrimiento, espoleado
por la curiosidad de los científicos y por el afán de éstos de
comprensión de las verdades ocultas a una mirada superficial,
tenían en la matemática el
organon que permitía el análisis,
y también la síntesis, de los grandes conceptos y teorías que
se aplicaban al mundo real, al mundo de los datos sensibles, de
los que habían hablado los grandes filósofos del pasado. Se suponía
que este mundo existía en la realidad —lo cual supone un
materialismo consustancial en la mente del científico frente a
visiones idealistas que se dejaban a la especulación filosófica—
y que era labor de la ciencia revelar sus leyes a través de las
regularidades descubiertas. Determinados acontecimientos en la
historia de la matemática supusieron un fin para esta certeza.
Su importancia para la historia de la matemática ha sido, y sigue
siendo, crucial, al tiempo que aporta una intelección de esta
ciencia sometida a contradicciones y paradojas que, por una parte,
la ha sumido en una profunda crisis y, por otra, ha aportado sustanciales
investigaciones y resultados enriqueciéndola allí donde más lo
necesita, en sus propios fundamentos y en las condiciones
"
previas
" que la hacen posible.
No pensemos, sin embargo, que los grandes problemas epistemológicos
de las ciencias formales están resueltos definitivamente. Lo que
ha sucedido es que se ha aportado soluciones parciales en forma
de acercamiento a una posible e hipotética
"
solución última
" . Nada más lejos
de la realidad que esta
" solución
última
" esté garantizada por la
racionalidad humana; es muy posible que ella no exista como tal.
Lo que es palmario es justamente el intento encaminado al logro
de la certeza apodíctica que reclama específicamente las ciencias
deductivas en cuanto modelo de certeza y confiabilidad en un orden
de razón proyectado ante el espejo de una naturaleza de la que
quiere ser reflejo y garantía de su conocimiento. La propia
"
lógica
" del discurso racional
es inmanente a esta tentativa al estar encerrada en la arquitectura
interior de la mente humana, potenciada por la estructura del
subsistema de investigación científica y por el orden subyacente
caracterizado por la necesidad de conocimiento fiable, el único
conocimiento digno de tal nombre, y de su aplicación a una tecnología
eficaz, necesaria a todo sistema social para el mantenimiento
del mismo. No obstante, la cuestión del problema de la fundamentación
es soslayada por algunos autores que sostienen la
no-necesidad
de fundamentos para la matemática. Esta ciencia/arte "es lo que
es" y su fundamento consiste en su hacer histórico. Una de las
características de la ciencia, desde el punto de vista de su carácter
etnológico y etnográfico —que se da en el contexto
cultural y social— es precisamente la falta de certidumbre
absoluta —ni tan siquiera relativa— sobre los hechos
acontecidos. La prueba de ello es las diversas interpretaciones
que los distintos autores, inscritos en determinadas escuelas,
ofrecen de concretos
"hechos
"
histórico-científicos. Los mismos hechos, lo sabemos gracias a
la epistemología, son en sí mismo algo muy refractario y resbaladizo.
No podemos decir que la ciencia histórica que estudia aspectos
externos culturales de la matemática o de los números —y
el argumento es totalmente válido para la historia de la ciencia
y de la técnica— sea un dechado de rigor (dado sus propias
características intrínsecas) en el sentido en que la teoría del
conocimiento, o la misma epistemología, entienden el término.
Siempre pueden quedar elementos nucleares de los hechos, o hechos
mismos, de corte diferente a los manifestados por la interpretación
histórica, que pueden ocultar —o por el contrario arrojar
luz— determinadas interpretaciones que pudieran ser parciales,
incompletas o incluso completamente erróneas. Siempre estas interpretaciones
están sujetas a un plano de contingencia y, por lo tanto, a una
dimensión de subjetividad. Lo que cabe realizar, no obstante,
es un incremento de los datos documentales que posibilite un mayor
acercamiento a la certidumbre y por lo tanto a la descripción
de los fenómenos tal y como llegaron a acontecer. De todos modos,
se trabaja con los materiales que tenemos a disposición. El problema
del conocimiento en las ciencias sociales consiste precisamente
en esto: en la selección de la información de la que se dispone
y en caracterizar a ésta como relevante o no. En demasiados casos
se tiene el hecho de la "información oculta" que ha quedado desconocida
por el investigador. Toda ciencia —también las llamadas
"ciencias duras
"
— está, a su vez, sujeta, a un componente de indeterminación.
La misma concepción del concepto filosófico e intelectual de
"Ciencia
"
también lo está: ¿cómo podemos saber que la ciencia actual, que
está prácticamente globalizada en el "Sistema Mundial", es la
única ciencia posible? ¿O sí las diversas interpretaciones cristalizadas
en las teorías científicas no son a la postre meras indicaciones
de un trasfondo enormemente más complejo que el que nuestros limitados
aparatos de conocimiento y de control experimental y formal nos
permite detectar? El mismo saber (filosófico), el conocimiento
(científico), se vería así sujeto a un principio de
incompletud
y de
indeterminación que podría poner en crisis —como
ya lo hizo en física o matemáticas— los mismos fundamentos
de la ciencia. Ésta se manifiesta como un hacer y saber dentro
de una historia social, cultural y civilizatoria que dicta los
elementos arquetípicos, el
nomos, valores y metodologías
que deben ser concebidas como reglamentaciones y directrices de
la práctica científica. El mismo sistema social, dependiendo de
que refuerce o no la ciencia como valor social, propiciará, no
sólo la práctica de ésta a través de los planes de investigación
y del aporte económico necesario para llevarla a cabo, sino que
la misma concepción de la ciencia como un valor en sí, hará que
prolifere o no el saber de dicha ciencia. Nuestra cultura racionalista,
iniciada en el pensamiento griego, ha construido una civilización
cuyo componente esencial, cuya vertebración primera, estriba en
considerar el concepto de ciencia y el de filosofía como absolutamente
válida para los intereses y finalidad de esta civilización. En
la historia de la humanidad el aporte cultural, en una especie
de sincretismo de civilizaciones, no es algo que podamos obviar.
Leibniz mismo estaba interesado en la
ciencia china25
y muchos de los científicos actuales han encontrado vínculos interesantes
entre formas tradicionales de pensamiento no occidental con las
más recientes teorías, como la mecánica cuántica, o la misma teoría
cosmológica de la creación del universo, manifestada a través
de la hipótesis del
Big Bang. La aportación de matemáticos
hindúes al acervo cultural de occidente no es tampoco baladí;
tenemos los ejemplos de Ramanujan o de Chandrasekhar en física.
Algo parecido acontece en la aportación de físicos y demás científicos
japoneses que se han incorporado a la corriente de investigación
de la ciencia contemporánea. Las cosmovisiones que han impactado
en la filosofía de fondo que opera en la conciencia de los más
grande físicos de este siglo, y que ha supuesto modelos interpretativos
de los hechos y las teorías de la ciencia, han tomado en las últimas
décadas verdadera fuerza y pregnancia: Heisenberg, Schrödinger;
Einstein, Jeans; Planck, Pauli o Eddigton, son algunos de los
grandes científicos cuyas cosmovisiones se han visto afectadas
por corrientes de pensamiento de tipo
místico (Oriente)
o no meramente racionalista. Muchos de ellos dejaron escritos
del primer tipo comentado. La misma historia de la ciencia y de
la técnica en diálogo fecundo con la
etnociencia de la
matemática puede servir de vehículo de una nueva comprensión de
la realidad. El estudio de los aconteceres propios de la labor
de investigación, de la creación científica y de los modos de
transmisión de los conocimientos, tanto internos como externos
a los
"circuitos
"
donde se realiza la ciencia, el estudio de los grandes hacedores
de ciencia, etc., constituye un saber en y sobre la propia ciencia
que no es más que un tipo de conocimiento concreto instalado en
los entresijos de unas culturas y civilizaciones que lo han hecho
posible. No obstante, a veces se pude llegar a la totalidad a
través de una intuición de lo parcial, cuando esta intuición es
lo suficientemente amplia y cuando las concepciones del sabio
dan un salto sobre lo concreto para entrever grandes teoría o
agregados, o bien una gran cosmovisión del mundo. La ciencia occidental
se encuentra también, y con derecho propio, en este mundo que
se quiere sin fronteras y que forma una totalidad de manifestaciones;
totalidad que unifica en un conjunto las diversas características
de las variadas culturas, tanto en los aspectos filosóficos como
en los científicos y en el conjunto de los modos del saber. No
hay ninguna razón para pensar que la ciencia occidental sea la
depositaria de un saber absoluto, ni para que no podamos suponer
que las aportaciones de otros modos de entendimiento de la realidad
no pudieran ser sumamente significativas para el encuentro con
el conocimiento de la realidad y, por ende, de la verdad. Las
obras de David Bohm,
Ciencia, orden y creatividad y
La
totalidad y el orden implicado caminan en la dirección
de producir un puente entre formas de pensamiento ajenas a Occidente
y la racionalidad propia de éste. Desde el punto de vista de la
antropología de los números y la matemática, también van
en este sentido las conexiones entre el mundo árabe y la matemática
occidental. Muchos son los vínculos, trayectos, relaciones y vías
de acercamiento entre diferentes manifestaciones culturales del
ser humano. Quizás esté todavía por realizar un verdadero estudio
global del mapa entero de la ciencia del hombre entendida como
totalidad, pero manteniendo las particularidades y peculiaridades
propias de cada cultura; enriqueciendo el cúmulo del saber pero
entretejiendo los lazos de una nueva interpretación de la cultura
y la historia. El conocimiento generado a partir de la
antropología
de la ciencia se puede convertir, de esta manera, en un elemento
esencial que haga posible el acercamiento de posturas en un mundo
demasiado fragmentado por elementos ideológicos, religiosos, dogmáticos
y autoritarios. Una ciencia libre de valores (avalorativa) ha
sido uno de los componentes de las ciencias sociales en general,
y de la
antropología en particular, que más ha repercutido
en la intelección de los criterios de validación de la ciencia
y de sus teorías. Ha sido importante, en este aspecto, la distinción
metodológica entre lo
emic y lo
etic al permitir
acotar el campo y discernir categoría de apreciación cognitivas
proyectables al conocimiento de las culturas. Para penetrar y
conocer el comportamiento numérico de una determinada de ellas
es necesario la "no-ingerencia conceptual" en los modos de intelección
o emocionales de la realidad que resultan en cosmovisiones culturales.
De aquí que, por ejemplo,
antropólogos del siglo XIX encontrasen
gran dificultad en explicar la Biblia a miembros de culturas que
no son capaces de concebir determinados términos y símbolos ajenos
a esa cultura.
26
Conceptos relacionados con la capacidad cognitiva de los individuos
como es el de "genio" (intelectual) parecen pertenecer a nuestra
cosmología (Weltanschauung). Así: "El distinguido antropólogo
A. L. Kroeber define a los genios como "los indicadores de la
realización de patrones coherentes de valor cultural"
27.
La famosa frase del sofista Protágoras
"El
hombre es la medida de todas las cosas
",
nos indica que todo conocimiento ha de pasar indefectiblemente
por nosotros y, que por ello, ha de ser interpretado, de una u
otra manera, por nuestra conciencia (que como sabemos es una construcción
social). Se establece una verdadera trama de relaciones entre
la conciencia, la sociedad, la cultura y la historia (como proceso
cultural dinámico) que se vincula con el hacer científico en un
continuum espacio temporal de donde emergen las manifestaciones
del saber. Este saber, todo discurso y desarrollo del pensamiento
y de la conciencia científica, está de algún modo encerrado en
sí mismo; es por lo tanto un lenguaje interno, el lenguaje del
pensamiento. Toma forma a través del lenguaje natural o de los
lenguajes
"artificiales
"
de la lógica, de la matemática, etc. Por lo tanto, todo conocimiento
no nos habla tanto del mundo exterior como de las relaciones operacionales
intelectivas-gnoseológicas
"interiores
";
es decir, resulta, en las postrimerías, un juego formal de combinaciones
encerradas en los límites de la conciencia. Hans Hahn, al respecto,
comenta que nuestro pensamiento formal afecta al modo en que hablamos
acerca del mundo y que este pensamiento formal sólo puede transformar
tautológicamente a lo dado. Se trata de saber si el pensamiento
no formal, el pensamiento fáctico-empírico, propio de las ciencias
naturales, aporta un conocimiento fiel de la realidad o, si por
el contrario, es un pensamiento también encerrado en los límites
de posibilidad de la conciencia. Parece ser que es así, ya que
las conceptualizaciones técnico-simbólicas de las proposiciones
científicas formuladas, por ejemplo, en forma de leyes, actúan
también en forma interna. Es decir, resultan una
"interpretación
"
del mundo. Cada conocimiento está mediatizado por el sujeto-conciencia
que
"conoce
".
Lo que hay que encontrar, de ser posible, es el
"vínculo
oculto
" entre el mundo
"real
exterior
" —datos de los
sentidos, objetos físicos reales que se les supone
"existencia
"
— y los datos interiores —estados— de la conciencia
que forman la intelección de ese mundo. El pensamiento requiere
el concurso de esa supuesta realidad exterior que actúa como estímulo
y catalizador —desencadenante— de la intelección,
es decir, del pensamiento. Que el pensamiento tenga su
semiótica
interior —la lógica del modo de funcionamiento de este pensamiento—
se deberá a cómo el cerebro interpreta los datos sensoriales del
mundo exterior. Se realiza una estimulación sensorial operante
en el sistema nervioso central (SNC), que activa el pensamiento
en los cerebros. La
mente-cerebro recibe esos estímulos
y los interpreta. Aquí hay varios componentes a considerar:
i) Mundo exterior independiente de la conciencia.
ii) Vínculo relacional mundo-mente-conciencia.
iii) El cerebro en sí que interpreta ese mundo y que es una
constitución onto y filogenética dada por evolución. La conciencia
es endocultural.
El carácter del
vínculo depende de cómo sea ese mundo exterior
y la arquitectónica estructural del cerebro. Con relación a este
punto, y a lo apuntado con anterioridad, la epistemología del
matemático francés René Thom
28,
es
reveladora: para él, todo conocimiento es, a la postre, no otra
cosa que un
psicoanálisis, es decir un
autoconocimiento.
La distinción fundamental de las ciencias de Carnap es la que
realiza entre ciencias formales (
Formalwissenschaften)
y ciencias reales (
Realwissenschaften) o de contenido empírico.
En relación con este punto, y a su consiguiente distinción entre
juicios analíticos y juicios sintéticos y entre los conceptos
de
a priori y
a posteriori, y en conexión con la
etnociencia, hay que hacer una distinción, dentro de la
metodología interpretativa de la historia, para el abordaje de
las manifestaciones entre los dos grandes grupos de ciencia. De
esta forma, los análisis interpretativos de la matemática o de
la física por parte del
antropólogo cultural, habrá de
considerar el
modus interior de cada una de las específicas
"esencialidades" de cada ciencia en particular. Así, por ejemplo,
la interpretación histórico-social de la matemática con relación
a su intento de explicación en conexión con los elementos sociales,
culturales e históricos de su quehacer, se ha visto empañada por
una falta de conocimientos amplios de las condiciones ambientales
que hubieran podido propiciar su desencadenamiento como ciencia
y su misma manifestación, desarrollo y evolución. El
"hermetismo
"
propio de esta ciencia, su encerrarse en los parámetros endógenos
de su labor, no ha propiciado una intelección multirelacional
de las posibles conexiones y vínculos ocultos de la matemática
con el resto de los sistemas o subsistemas sociales. Esto no ha
sucedido con la misma intensidad en lo que respecta a las ciencias
fácticas, donde los vínculos posibles siempre han estado, quizás,
más documentados. El
Homo Sapiens Sapiens es un tipo de
organismo cuya característica principal consiste en ser un hacedor
de cultura (el "animal cultural" según C. Paris). Es asombroso
el caudal de conceptos y realizaciones culturales que el hombre
ha creado para sí mismo: todo lo cultural es una creación de y
para el hombre. ¿De dónde le viene esta necesidad de crearse una
realidad para sí mismo? La realidad social, las ideas, la cultura,
etc., son un
constructo específicamente humano (
humán29
lo llama Jesús Mosterín). ¿Por qué el hombre crea la cultura y
se construye todo un universo artificial a su alrededor donde
se instala cómodamente? El
Homo Sapiens Sapiens, es algo
más que un animal gracias al desarrollo de un cerebro extraordinariamente
complejo. No puede ser meramente un animal que sigue sus instintos.
Su "instinto" es precisamente éste: crear civilización, crear
una cultura que es un mundo
artificial donde su ser se
manifiesta y se realiza. El instinto animal, en el hombre, es
sustituido por la cultura. Pero el hombre crea
"a
su imagen y semejanza
". No puede
hacer otras realizaciones más que aquella a las que le determina
su condición social. Las diversas formas culturales no son más
que modificaciones infinitesimales de formas anteriores; modificaciones
por innovaciones o por hastío y superación de formas y modos que
han dejado de ser operantes, o que simplemente se han agotado.
Es un trabajo de creación continua que se manifiesta con especial
singularidad en el fenómeno que estudiamos: la creación de los
números y de la matemática como ciencia de las ciencias (la "reina"
de las ciencias que diría Gauss)
30.
La
especie
Homo sería una especie
especializada en la desespecialización.
La misma
Humanidad es un
"genio
colectivo
" que crea el mundo a
cada instante. Esta creación cultural está instalada en lo más
profundo de los "instintos" humanos. Lo natural tiene su prolongación
en lo cultural. El mismo hombre es una superación del animal que
no es creador de cultura tal y como la entendemos nosotros. En
realidad, toda obra de creación de cultura es, en términos absolutos,
"falsa
"
ya que es una creación, una construcción del hombre y, por lo
tanto, una forma de artificio en cuanto es algo que se autoimpone
a sí mismo: un universo
simbólico que se mueve entre el
nomos y la
alienación y que constituye el espacio
de significación en donde nos situamos y actuamos. Lo cultural
es una convención tácita y una construcción. Si esto es así, ¿en
qué sentido podemos hablar de una verdad física o matemática?
¿En qué sentido podemos decir que una obra de arte es
"verdadera
"?
La cultura, la civilización, es una inmensa obra de arte; ¿podemos
hablar entonces de verdades objetivas?. Es un universo autocreado
por el hombre (
autopoiesis antropomórfica): la ciencia,
la filosofía, el arte..., el mismo cerebro —llegado cierto
nivel— es una construcción de la cultura. Pero el cerebro
humano, en su sentido biofísico, es también algo que estaba ahí
con anterioridad; es el producto de una larga y azarosa evolución
de millones de años. Es la idea anteriormente apuntada, de Thom
de que cuando hacemos ciencia, conocimiento en general, lo que
estamos en realidad haciendo es psicoanálisis. Todo, entonces,
se constituye en un inmenso "armazón conceptual". La cultura es
en realidad algo muy similar a un
sistema formal; donde
los dogmas o creencias inamovibles (en un tiempo dado T
n)
son los
axiomas y donde se crean
proposiciones que
son los diversos asertos sobre el mundo, las cosmovisiones de
una época y de un tiempo concreto, válidas únicamente para ese
tiempo y lugar de la historia humana. ¿Y las
deducciones?
Son los sistemas de razonamiento: filosóficos, científicos...,
que apuntalan y sostiene el edificio conceptual de cada época
y que están
en la conciencia de los individuos que la viven.
Las mismas
definiciones son también dogmas o pseudodogmas
que
"flotan
"
en una sociedad determinada. La cultura como
sistema formal
estaría compuesta de muchos subsistemas formales cada uno con
una arquitectura propia; con un conjunto de relaciones específicas
entre sus componentes: la
ciencia, el
lenguaje,
la
economía, la
filosofía, el
arte, la
técnica,
la
ética, la
política,... son sistemas formales
de comunicación, grandes
signos en sí mismos —entendidos
como totalidades— que comportan una
semiótica de la
comunicación y que mantiene vínculos estrechos entre ellos
agregándose para realizar o constituir una cultura concreta. Podemos,
luego, analizar cada uno de estos subsistemas y hacernos especialistas
en ellos. Al hacerlo, lo que hacemos es incrementar el conocimiento
que tenemos de nosotros mismos: HOMBRE
Þ
CREACIÓN CULTURAL
Þ ESTUDIO DE CADA
CREACIÓN CULTURAL
Þ VUELTA AL HOMBRE.
Toda la cultura humana emergería de la complejidad neuronal del
cerebro humano. Al estudiar esas manifestaciones, realizamos,
como hemos dicho, un autoconocimiento. Supone el descubrimiento
de una "arqueología de la
mente" tal y como indica el nombre
de una reciente obra de Steven Mithen. Las construcciones humanas,
las culturas, son al tiempo que algo
"falso
",
algo
"verdadero y objetivo
"
ya que no hay manifestaciones culturales
"fuera
"
del hombre. Las diferentes culturas —p. ej. indios americanos
o escoceses— tienen ambos sentidos: i)
"falsas":
porque no suponen una verdad objetiva y absoluta independiente
de su creación por el hombre. ii)
"verdaderas":
porque
es la creación del hombre y fuera de ella no hay
un principio de demarcación cognitiva que nos indique criterios
de veracidad absoluta; por eso es
"
verdadera
" para esa sociedad y
esos individuos. La existencia de la
Walhalla para los
vikingos era una verdad absoluta; o la existencia de la
Virgen
María para un creyente católico también lo es. La creación
cultural se cierra sobre sí misma. En términos absolutos, todas
estas creaciones culturales son
"falsas
"
Lo único verdadero sería el mundo natural. Pero el hombre es también
naturaleza, luego ésta se manifiesta en la creación cultural humana:
NATURALEZA Þ HOMBRE Þ
CREACIÓN CULTURAL Þ VUELTA AL HOMBRE.
La relación constructiva entre lo social y la identidad personal
ha sido analizada por Berger y Luckmann en su obra
La construcción
social de la realidad. Ello es significativo en el contexto
de la matemática y en el de la ciencia en general. En este sentido,
cabe subrayar la concepción que tiene Condillac sobre la construcción
del
"yo
"
que se realiza en las formas culturales. Lavoisier era un creador
y como tal tuvo que romper con aquellos elementos transmitidos
por la tradición histórica de la ciencia (en su caso la química)
para ser capaz de producir una revolución científica. Todo creador
tiene que hacerlo. La
teoría del sensualismo de Condillac
es significativa en este contexto. Su hincapié en que la fuente
de conocimiento son los sentidos lo sitúa en el ámbito de un
empirismoagnóstico
de tipo
idealista ya que para Condillac, el conocimiento
comporta siempre un elemento subjetivo. Para él la realidad se
manifiesta como
signo sin que seamos capaces de conocer
la auténtica realidad que se esconde detrás del fenómeno aprehendido
sensorialmente. Además, la filosofía del lenguaje de Condillac
es absolutamente relevante para la interpretación de Lavoisier
sobre el sentido de las palabras como transmisor de verdades
"auténticas
"
contenidas en las cosas mismas; de las que la ciencia química
ha de extraer una interpretación fidedigna; es decir un conocimiento
fiel, isomórfico con esa realidad inaprehensible. Todos los estados
de conciencia de la mente, emociones, juicios, categorizaciones,
sentimientos, intelecciones, etc., son manifestaciones elaboradas
por el cerebro a partir de los datos de los sentidos: sin ellos
es imposible toda intelección del mundo. Es más, desde un punto
de vista de idealismo extremo, el mismo mundo no existe sin un
individuo cognoscente. Yo no me adscribiría a esos extremos, pero
lo que sí puedo decir, es que es evidente a la luz de muchas investigaciones
actuales que la
mente se articula en un
constructo
del mundo exterior en la medida en que lo simboliza. Hay que considerar
que la formalización no solo se da en estadios avanzados de abstracción
científica o filosófica sino que la misma interpretación del mundo
exterior supone selección y una forma inmediata de formalización.
Este punto ha sido muy estudiado en la actualidad por las escuelas
de
psicología cognitiva donde los modelos matemáticos
y físicos referidos a la forma en que el cerebro recibe e interpreta
la realidad han revelado patrones estructurales recurrentes que
a su vez han sido susceptibles de formalización por medio del
aparato de la matemática o de la lógica
31.
Desde el punto de vista de la
psicología
de la creación, la necesidad de superación de los elementos
del pasado ha sido uno de los temas más estudiados. Cuando se
quiere crear algo en un campo determinado del saber es necesario
ir más allá de lo conocido para atisbar lo desconocido. La importancia
y conexión entre ciencia y sociedad, en todos sus aspectos, se
hace manifiesta en nuestra
civilización tecnológica32
construida sobre los pilares de las ciencias inductivas
y deductivas. La deuda de la tecnología con la ciencia de base,
de tipo más teórico, es indudable. Al tiempo, la
técnica
es el vínculo que enlaza la manifestación dinámica del hacer social
en todas sus realizaciones al conectar el saber filosófico-científico
con la
praxis realizadora de una cultura deudora, a su
vez, del conocimiento del mundo natural. Hay una especie de convicción
de que las ciencias sociales —que encuadra a la
antropología
como una de las disciplinas esenciales— junto con la ciencia
es un elemento vertebrador de la cultura de nuestro tiempo. El
conocimiento de tipo positivo, heredado de la concepción científica
de A. Comte y con epígono en este siglo sustentado por las concepciones
filosóficas del Círculo de Viena, el llamado Positivismo Lógico,
se entreteje con el campo vivo, social, de la humanidad (en un
aspecto histórico: la Ciencia como aventura humana) en una especie
de nuevo humanismo renacentista que intenta superar un racionalismo
exagerado atemperándolo con visiones e interpretaciones más propiamente
"humanas
".
De aquí el concepto de "tercera cultura" y la importancia de las
ciencias ideográficas o interpretativas en la propia interpretación
de las culturas y de los comportamientos humanos.
33
La incorporación de las propias teorías
de la ciencia, y de su historia, al conocimiento de lo específicamente
humano ha ido creciendo cada vez más hasta el punto de que hoy
en día las escuelas de las ciencias sociales de éxito y predicación
tienen vínculos muy estrechos con muchos conceptos de la matemática,
de la física, de la cosmología, de la biología, de la
paleoantropología,
entre otras ramas del saber humano. Baste echar una mirada a escuelas
de pensamiento como el ya citado
Positivismo Lógico, el
Análisis Filosófico; la
Teoría de Sistemas, las
diversas corrientes de epistemología actual, etc., para darse
cuenta de este estrecho lazo que une quehacer científico y antropología.
La teoría de sistemas de Bertalanffy se impuso décadas atrás como
uno de los mayores logros en la interpretación holística y sistémica
de la realidad en sus diferentes subsistemas integrados en un
sistema global. Podemos definir conceptualmente un modelo en la
forma siguiente:
Na : Naturaleza-Universo
(El Universo-Cosmos es Naturaleza primigenia)
SNHC : El Sistema Naturaleza-Hombre-Cultura
Niu: Naturaleza local.
El sistema-planeta Tierra
H: Hombre
C: Cultura
Hay aspectos de causalidad y/o probabilidad causal social-histórica
que están presentes u operativos en función de las condiciones circunstanciales
de los individuos, grupos y el mismo sistema social. El proceso
de retroacción causal/probabilístico/posibilista nos lleva a los
orígenes de lo social, al elemento histórico-evolutivo de la sociedad
de referencia. Como condición de posibilidad: la aparición en el
escenario cósmico del
Homo Sapiens Sapiens (estructura raciomorfa/organismo/morfología)
en relación con el medio (Naturaleza: N
a
y N
iu). Un elemento fundamental
en el
Homo Sapiens Sapiens es la constitución de su cerebro.
En la Naturaleza, su constitución como materia/energía.
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1
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Universidad. Madrid, 1993
2
Thomas Crump. Antropología de los números, p. 16. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
3 Para
un estudio detallado de las formas sígnicas que ha tomado los números
a lo largo de la evolución de las culturas resulta de gran interés
la monumental obra de Georges Ifrah Historia Universal de las
Cifras: La Inteligencia de la Humanidad contada por los Números
y el Cálculo. Espasa Calpe. Madrid, 1997. De especial relevancia
desde el punto de vista antropológico es el Capítulo 1 "Etnología
y psicología de los números: para una explicación de los orígenes"
o el Capítulo 3 "La mano, primera "máquina de contar"".
4
El sistema en base diez parece provenir del pensamiento oriental.
No es hasta el siglo XIII que es introducido en Europa por un matemático
llamado Fibonacci creador de una sucesión muy famosa que lleva su
nombre y que se ajusta muy bien al crecimiento de una población
de conejos y cuyos primeros términos son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34,...
5
Es importante darse cuenta de que el hacer matemático se realiza
en un entorno cultural concreto. En este sentido puede verse el
trabajo de Leslie A. White. "El lugar de la realidad matemática:
una referencia antropológica" p. 292 y ss., vl. 6. En: James R.
Newman: Sigma: el mundo de la matemática. 6 vls. Grijalbo.
Barcelona, 1985.
6
Es interesante comprobar este punto en "Misticismo numérico"; "Geometría
hermética"; "Astrología"; "Religión"; "La abstracción y la teología
escolástica" en: Experiencia Matemática, Ph. J. Davis y R.
Hersh. pp. 80-95. Ed. Labor. Barcelona, 1998. Véase el dibujo de
"Dios maneja el compás"
de William Blake, The Ancient of Days, Art Gallery,
University of Manchester. En: p. 90 de esta obra.
7
Thomas Crump. Antropología de los números, p. 104. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
8
Thomas Crump. Antropología de los números, p. 107. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
9
Vid. capítulo 8 "El tiempo" en: Thomas Crump. Antropología de
los números, p. 141 y ss. Alianza Universidad. Madrid, 1993.
10
Thomas Crump. Antropología de los números, p. 143.. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
11
Brouwer es el creador de la escuela intuicionista en matemática.
12
Anthony Kenny. Introducción a Frege, p. 20. Cátedra. Madrid,
1997.
13
Citado en Thomas Crump. Antropología de los números, p. 141.
Alianza Universidad. Madrid, 1993.
14
Thomas Crump. Antropología de los números, p. 147. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
15
Para los aspectos cognitivos de los números, vid. "Los fundamentos
cognitivos del conocimiento de los principios básicos de los números",
p. 35 ss. Thomas Crump. Antropología de los números. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
16
Vid p. 39 de Thomas Crump. Antropología de los números. Alianza
Universidad. Madrid, 1993.
17
Con Hilbert a la cabeza.
18
Leslie A. White. "El lugar de la realidad matemática: una referencia
antropológica" p. 296, vl. 6. En: James R. Newman: Sigma: el
mundo de la matemática. 6 vls. Grijalbo. Barcelona, 1985.
19
Esta construcción tiene mucho de convención tal y como sostendrá
H. Poincaré.
20
Mario Bunge sostiene que el único sistema cerrado posible es el
Universo, como sistema total. Cualquier otro subsistema es "abierto".
Mario Bunge: Seminario "Conocimiento o ignorancia de lo social:
Problemas Metodológicos y Filosóficos de las Ciencias Sociales".
Impartido en Alicante entre los días 19 al 23 de febrero de 1996.
21
Puede verse al respecto: las matemáticas como clave cultural
en los siguientes artículos contenidos en Sigma, el Mundo de
lasmatemáticas vl. 6; op. cit.: "El significado de los
números" por Oswald Spengler y "El lugar de la realidad matemática:
una referencia antropológica" por Leslie A. White, páginas 250 y
282, respectivamente.
22
Al respecto puede verse Del cálculo a la teoría de conjuntos,
1630-1910. Una introducción histórica. Compilación de
I. Grattan-Guinness. Alianza Universidad. Madrid, 1984.
23
En este sentido son mucho menos frecuentes los trabajos como el
de T. Crump sobre la Antropología de los números y la matemática
que los dedicados a aspectos de las ciencias naturales. Un libro
importante para la historia de la Antropología como es el de Marvin
Harris, El desarrollo de la teoría antropológica: una
historia de las teorías de la cultura; editorial Siglo XXI,
1993, contiene escasas referencias acerca de los números o de la
matemática en las diferentes culturas.
24
Vid. G. H. Mead y su Espíritu, Persona y Sociedad. Paidós.
Barcelona, 1982.
25
T. Crump, en la obra citada, Antropología de los números recoge
investigaciones realizadas por él en la China y en el Japón.
26
Vid, entre otros muchos trabajos donde aparecen estas cuestiones,
la magnífica obra de C. Geertz La interpretación de las culturas.
Gedisa, Barcelona, 1996.
27
Leslie A. White. "El lugar de la realidad matemática: una referencia
antropológica" p. 294, vl. 6. En: James R. Newman: Sigma: el
mundo de la matemática. 6 vls. Grijalbo. Barcelona, 1985.
28
René Thom es el creador de la Teoría de las Catástrofes que inició
con su libro Estabilidad estructural y morfogénesis
publicado originalmente en Francia.
29
Vid J. Mosterín: Filosofía de la cultura. Alianza Universidad.
Madrid, 1994.
30
Para una percepción clara del papel de las ciencias en la cultura
humana es fundamental la obra de John D. Bernal Historia Social
de la Ciencia, 2 vls. Península. Barcelona, 1979.
31
Al respecto resulta muy ilustrador el trabajo de Michael A. Arbib
Cerebros, máquinas, matemáticas. Alianza Universidad. Madrid,
1976.
32
Vid. La obra de Lewis Mumford Técnica y Civilización, 2 vls.
Altaya. Barcelona, 1998.
33
Vid. Al respecto la obra esencial de Wilhelm Dilthey Introducción
a las Ciencias del Espíritu: En la que se trata de fundamentar el
estudio de la sociedad y de la historia. Fondo de Cultura Económica.
México D. F. 1949.
