Perspectives en l´Ensenyament de la Geometria pel segle XXI

Documento de discusión para un estudio ICMI
PMME-UNISON. Febrero. 2001

1. Porqué un estudio en Geometría
2. Aspectos de la geometría
3. ¿Existe una crisis en la enseñanza de la geometría?
4. La Geometría en Educación
5. Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la Geometría
6. Aspectos Clave y Retos para el Futuro

7. Convocatoria para Artículos

1. Porqué un estudio en Geometría

Descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos, es La Geometría considerada como una herramienta para el entendimiento, la tal vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad.

En años recientes la investigación en geometría ha sido estimulada gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación. En el presente las enormes posibilidades de las gráficas por computadoras tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas posibilidades se hace necesaria una adecuada educación visual.

Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy difundido que, debido a la diversidad de aspectos de geometría, su enseñanza puede empezar en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo el currículo matemático. De cualquier modo, tan pronto como uno trata de entrar en detalles, las opiniones divergen en cómo llevar a cabo la tarea. En el pasado han habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acerca de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad.

Tal vez una de las razones principales de esta situación es que la geometría tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada - y tal vez ni siquiera exista - una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. A diferencia de lo que sucede en aritmética y álgebra, aún los conceptos básicos en geometría, tales como las nociones de ángulo y distancia, deben ser reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista.

Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría: relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad ala que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción.

Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil. Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la enseñanza de la geometría las prácticas escolares actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes, y con frecuencia sin nada que las reemplace. Por ejemplo, la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la mayoría de los países. 

Empezando desde el análisis, y considerando específicamente las discrepancias entre la creciente importancia de la geometría para sí misma, tanto como en investigación y en la sociedad, y la falta de atención de su papel en el currículo escolar, ICMI siente que hay una urgente necesidad de un estudio internacional cuyos propósitos principales son:

Discutir las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes niveles escolares y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones culturales.

Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y analizar sus impactos didácticos potenciales.

Aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza

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2. Aspectos de la geometría

La notable importancia histórica de la geometría en el pasado, en particular como un prototipo de una teoría axiomática, es de tal manera reconocida universalmente que no requiere más comentarios. Sobre ello, en el siglo pasado y específicamente durante las últimas décadas como aseveró Jean Dieudonné en el ICME 4 (Berkeley, 1980), la geometría "exclamando desde sus estrechos confines tradicionales ha revelado sus poderes ocultos y su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más universales y útiles en todas las partes de las matemáticas" (J. Dieudonné: The Universal Domination of Geometry, ZDM 13 (1), p. 5-7 (1981)).

En la actualidad, la geometría incluye tal diversidad de aspectos, que no hay esperanza de escribir una lista completa de ellos (y menos aún de usarla). Aquí mencionaremos solamente aquellos aspectos que en nuestra opinión son particularmente relevantes en vista de sus implicaciones didácticas:

La Geometría como la ciencia del espacio. Desde sus raíces como una herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha crecido hacia una teoría de ideas y métodos mediante las cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como también de otros fenómenos del mundo real. De acuerdo a diferentes puntos de vista, tenemos geometría euclideana, afin, descriptiva y proyectiva, así como también topología o geometrías no euclideanas y combinatorias.

La Geometría como un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases, histogramas.

La Geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos.

La Geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel más alto, como una teoría formal.

La Geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento deductivo.

La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como innovativas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.

Otra distinción podría ser hecha respecto a diversas aproximaciones de acuerdo a lo que uno puede resolver con geometría. En términos generales, son posibles las aproximaciones: Manipulativas, Intuitivas, Deductivas y Analíticas.

También se puede distinguir entre una geometría que enfatice las propiedades "estáticas" de los objetos geométricos y una geometría donde los objetos cambian respecto a los diferentes tipos de transformaciones en el espacio al ser considerados en una presentación "dinámica".

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3. ¿Existe una crisis en la enseñanza de la geometría?

Durante la segunda mitad de este siglo, la geometría parece tener una pérdida progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las matemáticas de la mayoría de los países. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se encuentran por ejemplo, en los recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemático de los estudiantes. Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy pocos items de geometría. En último caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño relativamente pobre.

¿Cuáles son las principales causas de esta situación?

En el período desde aproximadamente 1960 hasta 1980, se dio una presión general en el currículo matemático contra tópicos tradicionales, debido a la introducción de otros nuevos (por ejemplo: probabilidad, estadística, ciencias computacionales, matemáticas discretas). Al mismo tiempo el número de horas escolares dedicadas a las matemáticas se fue abajo. El "movimiento de las matemáticas modernas" ha contribuido - al menos indirectamente - para disminuir el rol de la geometría euclideana favoreciendo otros aspectos de la matemática y otros puntos de vista para su enseñanza (por ejemplo: teoría de conjuntos, lógica, estructuras abstractas). La declinación ha involucrado en particular el rol de los aspectos visuales de la geometría tanto la tridimensional como la bidimensional, y todas aquellas partes que no encajaron dentro de la teoría de los espacios lineales como, por ejemplo, el estudio de las secciones cónicas y de otras curvas notables.

En años más recientes ha habido un retorno hacia contenidos más tradicionales en matemáticas, con un énfasis específico sobre actividades de planteamiento y solución de problemas. De cualquier manera, los intentos de restablecer la geometría euclideana clásica - la que al principio y en muchas partes del mundo fue la materia principal en la geometría escolar - no han sido muy exitosos. El punto es que en los cursos tradicionales de geometría euclideana el material es usualmente presentado a los estudiantes como el producto final y ya hecho de la actividad matemática. Así, esta presentación, no encaja dentro del currículo actual donde se espera que los alumnos tomen una parte activa en el desarrollo de su conocimiento matemático.

En la mayoría de los países el porcentaje de gente joven que atiende al nivel medio superior se ha incrementado muy rápido durante las últimas décadas. Así, la forma tradicional de enseñar geometría abstracta a una selecta minoría ha resultado más difícil e inapropiada para las expectativas de la mayoría de estudiantes de las nuevas generaciones. Al mismo tiempo, la necesidad de más profesores ha causado, en promedio, una disminución en su preparación universitaria, especialmente en lo que respecta a las partes más demandantes de las matemáticas, en particular la geometría. Desde que profesores más jóvenes han aprendido matemáticas bajo curricula que han descuidado la geometría, les hacen falta buenos antecedentes en este campo, lo cual genera en ellos la tendencia a descuidar la enseñanza de la geometría a sus alumnos. 

La situación es aún más dramática en aquellos países donde hay poca tradición escolar. En algunos casos la geometría está completamente ausente en sus currícula matemáticos.

La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación y como una materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose; pero no parece encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si pudiera (o debiera) ser superada a través de la introducción de más tópicos avanzados en los grados inferiores del currículo escolar.

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4. La Geometría en Educación

En las secciones anteriores hemos considerado a la geometría principalmente como una teoría matemática y hemos analizado algunos aspectos de su enseñanza. Dado que el aprendizaje es incuestionablemente el otro polo esencial de cualquier proyecto educativo, es apropiado poner la debida atención a las principales variables que intervienen en un proceso coherente de enseñanza - aprendizaje. Consecuentemente, diferentes aspectos o "dimensiones" (consideradas en su más amplio significado) deben ser tomados en cuenta:

La dimensión social, con dos polos:

El polo cultural, i.e. la construcción de antecedentes comunes (conocimiento y lenguaje) para toda la gente que comparte una misma civilización.

El polo educativo, i.e. el desarrollo de criterios, internos para cada individuo, para su auto consistencia y responsabilidad.

La dimensión cognitiva, i.e. los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio.

La dimensión epistemológica, i.e. la habilidad para explorar el interjuego entre la realidad y la teoría a través del modelado (hacer previsiones, evaluar sus efectos, reconsiderar selecciones). Es así que la axiomatización permite liberarse de la realidad; de esta manera puede ser vista como un recurso que facilita futuras conceptualizaciones.

La dimensión didáctica, i.e. la relación entre la enseñanza y el aprendizaje. En esta dimensión se encuentran muchos aspectos que merecen consideración. Como un ejemplo, listamos tres de ellos:

Hacer que interactúen varios campos (tanto al interior de la matemática como entre las matemáticas y otras ciencias).

Asegurar que los puntos de vista de los profesores y los estudiantes sean consistentes en un estudio dado. Por ejemplo, tener en cuenta que distintas escalas de distancia pueden involucrar diferentes concepciones y procesos adoptados por los estudiantes aún cuando la situación matemática sea la misma: En un "espacio de objetos pequeños", la percepción visual puede ayudar para hacer conjeturas y para identificar propiedades geométricas; cuando se está tratando con el espacio donde usualmente nos movemos (por ejemplo, el salón de clases) todavía resulta fácil obtener información local, pero puede dificultarse lograr una visión global; en un "espacio a gran escala" (como es el caso de la geografía o de la astronomía) las representaciones simbólicas son necesarias a fin de analizar sus propiedades.

Dar la debida consideración a la influencia de las herramientas disponibles en situaciones de enseñanza y de aprendizaje (desde la regla y compás tanto como otros materiales concretos, hasta calculadoras graficadoras, computadoras y software específico)

No se necesita decir que todas estas dimensiones están interrelacionadas unas con otras y que también debieran relacionarse apropiadamente a las diferentes edades y niveles escolares: pre-primaria, primaria, secundaria, medio superior (en donde se empiezan a diferenciar las vocaciones académicas y técnicas), universitario incluyendo la formación de profesores.

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5. Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la Geometría

Hay una larga tradición de matemáticos que hacen uso de herramientas tecnológicas y recíprocamente, el uso de estas herramientas ha hecho surgir nuevos retos en problemas matemáticos (por ejemplo, la regla y el compás para las construcciones geométricas, los logaritmos y los instrumentos mecánicos para los cómputos numéricos). En años recientes la nueva tecnología, y en particular las computadoras han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad. Muchas actividades tradicionales se han vuelto obsoletas mientras que nuevas profesiones y nuevos retos emergen. Por ejemplo, el dibujo técnico ya no se hace a mano. En su lugar uno usa software comercial, plotters y otros accesorios tecnológicos. CAD-CAM y software para álgebra simbólica están ampliamente disponibles.

Las computadoras también han hecho posible la construcción de "realidades virtuales" y la generación de animaciones interactivas o cuadros maravillosos (por ejemplo, imágenes fractales). Más aún, los accesorios electrónicos pueden ser usados para lograr experiencias que en la vida cotidiana son inaccesibles, o accesibles solamente a través de trabajo sumamente tediosoy que generalmente consume muchísimo tiempo.

Por supuesto, en todas estas actividades la geometría está profundamente involucrada tanto para promover la habilidad de usar herramientas tecnológicas apropiadamente, como para interpretar y entender el significado de las imágenes producidas.

Las computadoras pueden también ser usadas para obtener un entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus invariantes.

Hasta ahora, la práctica escolar ha sido sólo marginalmente influida por estas innovaciones. Pero en el futuro cercano es posible que al menos algunos de estos tópicos encontrarán su camino dentro de las currícula. Esto implicaría en grandes términos los siguientes cuestionamientos:

¿Cómo afectará el uso de las computadoras la enseñanza de la geometría, sus propósitos, sus contenidos y sus métodos?

¿Serán preservados los valores culturales de la geometría clásica, o éstos evolucionarán, y cómo?

En países en los que las restricciones financieras no permiten la introducción masiva de computadoras a las escuelas en un futuro cercano, ¿aún así será posible reestructurar la currícula de geometría a fin de enfrentar los principales retos originados por estos recursos tecnológicos?

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6. Aspectos Clave y Retos para el Futuro 

En esta sección listamos explícitamente algunas de las preguntas más relevantes desprendidas de las consideraciones delineadas en las secciones precedentes. Creemos que una clarificación de estos aspectos podría contribuir a una promoción significativa en la enseñanza de la geometría. Por supuesto no afirmamos que todos los problemas bosquejados son solubles y menos aún, que las soluciones son únicas y tienen una validez universal. Por el contrario, las soluciones pueden variar según los diferentes niveles escolares, los diferentes tipos de escuelas y los diferentes ambientes culturales.

6.1. PROPÓSITOS

¿Porqué es aconsejable y/o necesaria la enseñanza de la geometría?

¿Cuáles de los siguientes pueden ser considerados como los propósitos más relevantes de la enseñanza de la geometría?

Describir, entender e interpretar el mundo real y sus fenómenos.

Proporcionar un ejemplo de una teoría axiomática.

Proporcionar una rica y variada colección de problemas y ejercicios para la actividad individual de los estudiantes.

Entrenar a los aprendices a hacer estimaciones, establecer conjeturas, construir demostraciones y determinar ejemplos y contraejemplos.

Servir como una herramienta para otras áreas de la matemática.

Enriquecer la percepción pública de las matemáticas.

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6.2. CONTENIDOS

¿Qué se debería enseñar?

¿En la enseñanza de la geometría es preferible un estudio "extenso" o "profundo"?

¿Es posible / aconsejable identificar un tronco curricular común?

En el caso de una respuesta afirmativa a la segunda cuestión indicada arriba, ¿qué tópicos debieran ser incluidos en el temario correspondiente a los diferentes niveles escolares?

En el caso de una respuesta negativa, ¿porqué se piensa que los profesores o las autoridades locales debieran ser dejadas en libertad de elegir los contenidos de geometría de acuerdo a sus gustos personales (este punto de vista es común a otras materias de matemáticas o, es algo peculiar de la geometría)?

¿La geometría debiera ser enseñada como una materia específica y aparte o, debiera surgir de los cursos de matemáticas generales?

Parece haber un acuerdo muy difundido de que la enseñanza de la geometría debe reflejar las necesidades actuales y potenciales de la sociedad. En particular, en todos los niveles escolares debiera ponerse énfasis en la geometría del espacio tridimensional tanto como las relaciones de ésta con la geometría bidimensional. ¿Cómo podría y debería modificarse la situación actual (en la que sólo es favorecida la geometría bidimensional)?

¿De qué maneras el estudio del álgebra lineal puede potenciar el entendimiento de la geometría? ¿En qué etapa debieran ser introducidas las estructuras "abstractas" de los espacios vectoriales? y ¿Cuáles son las metas?.

¿Sería posible y aconsejable el incluir también en el currículo algunos elementos de geometrías no euclideanas?

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6.3. MÉTODOS

¿Cómo debiéramos enseñar geometría?

Cualquier tópico en geometría puede ser localizado en alguna parte entre los extremos de una aproximación "intuitiva" y una aproximación "formal" o "axiomática". ¿Sólo una de estas dos aproximaciones debiera ser privilegiada en cada nivel escolar o, debiera haber un interjuego dialéctico entre ellas, o aún más debiera darse un cambio gradual de la primera a la segunda conforme se incrementa la edad y el nivel escolar de los estudiantes?

¿Cuál es el papel de la axiomática en la enseñanza de la geometría? ¿Debiera establecerse un conjunto completo de axiomas desde el principio (y, si es así, a qué edad y nivel escolar) o es aconsejable la introducción gradual de la axiomática, por ejemplo mediante un método de "deducciones locales"?

Tradicionalmente, la geometría es la materia donde "uno demuestra teoremas". ¿La "demostración de teoremas" debiera estar restringida a la geometría?

¿Nos gustaría exponer a los estudiantes a diferentes niveles de rigor en las demostraciones (conforme progresan su edad y nivel escolar)? ¿Las demostraciones deberían ser herramientas para el entendimiento personal, para convencer a otros, o para explicar, clarificar, verificar?

¿Empezando desde cierto nivel escolar debiera ser probado cada estatuto geométrico o, deberían seleccionarse para demostración sólo algunos teoremas? En el último caso, ¿Debiera uno elegir estos teoremas por su importancia al interior de un marco de trabajo teórico, o por el grado de dificultad de la demostración? y ¿Debieran ser privilegiadas las afirmaciones intuitivas o las contraintuitivas?

Parece ser que hay una creciente tendencia internacional hacia la enseñanza de los métodos analíticos en los grados más tempranos, a expensas de otros (sintético) aspectos de la geometría. Se supone que la geometría analítica presenta los modelos algebraicos para las situaciones geométricas. Pero, tan pronto como los estudiantes son introducidos a estos métodos nuevos, son empujados repentinamente a un mundo de cálculos y símbolos en los que se rompen las ligas entre las situaciones geométricas y sus modelos algebraicos y con frecuencia son omitidas las interpretaciones geométricas de los cálculos numéricos. Consecuentemente, ¿a qué edad y nivel escolar debiera iniciarse la enseñanza de la geometría analítica? ¿Cuáles actividades, métodos y marcos de trabajo pueden ser usados para restablecer los enlaces entre las representaciones algebraicas del espacio y las situaciones geométricas que estas simbolizan?

¿Cómo podemos potenciar de mejor manera la habilidad de los estudiantes para elegir las herramientas adecuadas (conceptuales, manipulativas, tecnológicas) para resolver problemas geométricos específicos?

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6.4. LIBROS, COMPUTADORASY OTROS RECURSOS DE ENSEÑANZA

¿Son los libros de texto tradicionales tan apropiados como quisiéramos que fueran para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría?

Cómo es que en realidad usamos los estudiantes y los profesores los libros de texto y otros recursos? ¿Cómo quisiéramos que los usaran los estudiantes? 

¿Qué cambios pueden y deben ser hechos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la perspectiva de incrementar el acceso a software, videos, materiales concretos y otros artefactos tecnológicos?

¿Cuáles son las ventajas que se desprenden del uso de tales herramientas, desde un punto de vista educativo y geométrico?

¿Cuáles problemas y limitaciones pueden surgir del uso de tales herramientas y cómo podrían ser superados?

¿Qué tanto puede extenderse y transferirse el conocimiento adquirido en un ambiente computarizado a otros ambientes?

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6.5. MEDICIÓN

Las formas de medir y evaluar a los estudiantes influyen fuertemente en las estrategias seguidas para la enseñanza y el aprendizaje. ¿Cómo deberíamos establecer los objetivos y propósitos y cómo debiéramos construir nuestras técnicas de medición de manera consistente con estos objetivos y propósitos? ¿Existen aspectos de la evaluación peculiares de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría?

¿Cómo pueden influir el uso de las calculadoras, computadoras y software específico en el análisis de los contenidos, organización y criterios de evaluación de las respuestas de los estudiantes?

¿Los procedimientos de medición debieran estar fundamentados principalmente en exámenes escritos (cómo parece acostumbrarse en muchos países) o también debieran estarlo en el papel de la comunicación oral, del dibujo técnico y del trabajo con la computadora?

¿Qué es exactamente lo que debiera ser evaluado y considerado para una calificación: La solución? ¿El proceso de solución? ¿Las formas de pensamiento? ¿Las construcciones geométricas?

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6.6. PREPARACIÓN DE LOS PROFESORES

Una de las componentes esenciales de un proceso eficiente de enseñanza - aprendizaje, es la buena preparación de los profesores, en lo que concierne tanto a competencias disciplinares y educativas, epistemológicas, tecnológicas y aspectos sociales. En consecuencia, ¿Qué preparación específica (y realmente alcanzable) se requiere para los profesores prospectos y practicantes?

Es bien sabido que los profesores tienden a reproducir en su profesión los mismos modelos que ellos experimentaron cuando fueron estudiantes, a pesar de que posteriormente han sido expuestos a diferentes puntos de vista. ¿Cómo es entonces posible motivar la necesidad de cambios en la perspectiva de enseñanza de la geometría (tanto del punto de vista de los contenidos como el metodológico)?

¿Cuáles recursos para la enseñanza (libros, videos, software, ...) debieran estar disponibles para la capacitación de profesores en servicio, con el fin de favorecer una aproximación flexible y de amplio criterio para la enseñanza de la geometría?

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6.7 EVALUACIÓN DE EFECTOS A LARGO PLAZO

Con mucha frecuencia el éxito (o fracaso) de una reforma curricular y/o innovación metodológica para un cierto sistema escolar es valorada sobre la base de sólo un corto periodo de observación de sus resultados. Más aún, usualmente no hay estudios comparativos sobre los posibles efectos laterales de cambio de contenidos o métodos. Recíprocamente, sería necesario el dar una mirada también a qué ocurre en el largo plazo.

Por ejemplo:

¿La educación visual desde una edad temprana tiene un impacto sobre el pensamiento geométrico en edades posteriores?

¿Cómo influye en la intuición visual de los estudiantes una introducción temprana de los métodos analíticos en la enseñanza de la geometría? Cuando los estudiantes son ya profesionistas ¿se apoyan más en la intuición o en los aspectos racionales de la enseñanza de la geometría a la que han sido expuestos?

¿Cuál es el impacto del uso generalizado de herramientas tecnológicas en el aprendizaje de la geometría?

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6.8. REALIZACIÓN

En el ICME 5 (Adelaide, 1984) J. Kilpatrick lanzó una pregunta provocadora: ¿Qé sabemos acerca de la educación matemática en 1984 que no sabíamos en 1980?. El mismo asunto ha sido retomado recientemente en el estudio del ICMI: "Qué se investiga en educación matemática, y cuáles son sus resultados". Como para la geometría, la posibilidad de apoyarse en resultados de investigación podría ser extremadamente útil con el fin de evitar el replanteamiento en el futuro de formas de proceder que han probado ser infructuosas, y recíprocamente, con el fin de beneficiarse de soluciones exitosas. Y, para las preguntas relevantes aún no establecidas, nos gustaría investigar para hacernos de información útil con el fin de clarificar las ventajas y desventajas de posibles alternativas.

En consecuencia, una pregunta clave podría ser:

¿Qué es lo que ya sabemos de la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la geometría y qué querríamos aclarar con la investigación futura?

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7. Convocatoria para Artículos 

El estudio ICMI "Perspectivas sobre la Enseñanza de la Geometría para el siglo XXI" consistirá de un Congreso de Estudio y una Publicación que aparecerá en la serie estudios ICMI, basada en las contribuciones y en los resultados del congreso.

El Congreso está programado para Septiembre de 1995 en Catania (Italia). El International Program Committee (IPC) para el estudio invita por este medio a los individuos y a los grupos a someter sus ideas, sugerencias y contribuciones sobre los aspectos tocados en este documento de discusión en una fecha no más allá del 15 de febrero de 1995.

Aún cuando la participación en el congreso requiere una invitación del IPC, los "expertos" y "recién llegados" interesados en contribuir y participar en el congreso son invitados a contactar a la dirección del IPC. Desafortunadamente, la invitación no implica el soporte financiero de los organizadores para su asistencia.

Los artículos y las sugerencias concernientes a los contenidos del programa del congreso de estudio deberán ser enviados a:

Prof. Vinicio VILLANI
Traducción: Víctor Hernández  y Martha Villalba
Dipartimento di Matemática
Università di Pisa
Via Bounarroti 2
I - 56127 PISA, ITALY
villani@dm.unipi.it

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Los miembros del IPC son:

Vinicio VILLANI
(Director del IPC)
villani@dm.unipi.it

Carmelo MAMMANA
Director del Local Organizing Committee
(Dipartimento di Matemática,
Viale A. Doria 6, Città Universitaria, I-95125 Catania, Italy
)
mammana@dipmat.unict.it

Régine DOUADY
(IREM, Univ. Paris VII, France)

Vagn Lundsgaard HANSEN
(Mat. Inst., Technical Univ. of Denmark, Lyngby, Denmark)

Rina HERSHKOWITZ
(Dept. of Science Teaching, the Weizmann Inst. Of Science, Rehovot, Israel)

Joseph MALKEVITCH
(Math., York College, CUNY, Jamaica, N.Y., USA)

Iman OSTA
(American Univ. of Beirut, Lebanon)

Mogens NISS
(Member ex officio, IMFUFA, Roskilde Univ., Denmark)


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