LA DEMOSTRACIÓN EN PERSPECTIVA
Introducción: de Euclides a Hilbert

Luis E. Moreno Armella
Departamento de Matemática Educativa
CINVESTAV-IPN
Article publicat a la Revista Mexicana d´Investigació Educativa, Vol. 1, 1996

Geometría y desustanciación
La demostración del V postulado
Consecuencias: hacia la estructura


La Matemática no es sólo un cuerpo de conocimientos sino una actividad. En la versión contemporánea de la disciplina, parte del núcleo de la actividad lo constituye la demostración. En realidad ha sido así desde la refundación de la disciplina en manos de los griegos.

La matemática griega introdujo un elemento novedoso en la matemática: el método deductivo, en el marco de las organizaciones locales. Por ejemplo la geometría del triángulo, la geometría de la circunferencia fueron desarrollándose como pequeños universos de conocimiento geométrico. De esta manera fue posible aplicar los resultados que iban siendo establecidos dentro de estos universos a problemas del espacio físico. Desde luego, la geometría se desarrolla como una representación y organización del conocimiento sobre el espacio físico. Un ejemplo sobresaliente lo constituye el método ideado por Eratóstenes para estimar el radio de la tierra. Este tipo de ejemplos, en donde no es posible la verificación directa del resultado, fue importante para establecer el método deductivo como un criterio de validación, en cierta forma para sustituir una comprobación que estaba ausente.

En la incorporación del método deductivo a la matemática también resultó central la intención filosófica de construir una ciencia teórica cuya meta era el conocimiento de la verdad (Véase Metaphysics, p.512). El objetivo del método deductivo era explicar: explicar era demostrar. Para explicar, hay que partir, en una ciencia, de primeros principios. Esta organización, ya de carácter global, en la geometría, quedó plasmada en los Elementos de Euclides. Allí hay una organización que rebasa ampliamente las organizaciones locales a las que ya hemos hecho referencia al comienzo de este trabajo. La intención filosófica de construir una ciencia desde sus primeros principios, la podemos hallar en Aristóteles quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa. El tema central de su libro Tópicos es la demostración y la facultad que la realiza (véase Tópicos I.1, p.39). Allí se encuentran los elementos que componen una ciencia demostrativa:

(i) las definiciones

(ii)los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados y los comunes a todas, los axiomas

(iii) finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones demostradas a través de la inferencia.

A grandes rasgos, estos son los antecedentes de la organización axiomática de la geometría griega. Lo que siguió, es decir, la exploración de las proposiciones como miembros constitutivos de un sistema axiomático de geometría, fue cambiando, gradualmente, el significado de estas mismas proposiciones. Dejaron de ser vistas como representaciones de alguna propiedad del espacio (físico). Es decir, fueron perdiendo su valor ontológico, y fue enfatizado su aspecto lógico. Empero, esto no fue un proceso breve. Duró varios siglos y hubo profundas razones para ello.

La principal fue quizás, el desarrollo impulsado por los intentos de demostrar el V Postulado, pues ya desde tiempos de Euclides fue visto como una proposición muy complicada para adjudicársele la categoría de postulado: carecía de la evidencia en sí que debía caracterizar las proposiciones dignas de tal nombre. La historia de los intentos de demostración del postulado de las paralelas cubre una parte sustancial de la historia de la geometría hasta el siglo XIX. Cubre, en particular, parte importante de la evolución de la idea de demostración. Desde el comienzo, fue claro para quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlo dentro del contexto euclidiano y ello comportaba una hipótesis de profundo valor epistemológico: el espacio era euclidiano. La demostración del postulado simplemente haría más ligero el sistema postulacional. No hubo, en general, duda alguna del isomorfismo entre el sistema euclideo y el espacio físico. Hasta comienzos del siglo pasado pues, la idea de lo que constituía una demostración en geometría fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides.

La exploración rigurosa de los fundamentos de la matemática durante el siglo XIX, condujo a la desvalorización de la figura como objeto cognitivo dentro de la matemática. Este abandono de lo visual trajo como consecuencia, el predominio del lenguaje analítico para comunicar las matemáticas.

Hasta el siglo XIX la obra de Euclides fue considerada como uno de los modelos de la matemática por la metodología mediante la cual valida sus resultados. Cuando Newton publica su obra, los Principia, toma como modelo a los Elementos de Euclides. Empero, en su trabajo sobre el cálculo, que se desarrolla mediante el lenguaje del álgebra, sus criterios de legitimación son diferentes. Todo esto nos enseña que hasta el siglo XVIII la geometría y el álgebra se regían por diferentes criterios validatorios (véase el trabajo de Newton sobre Series Infinitas, edición de Whiteside).

La situación que acabamos de describir cambió radicalmente durante el siglo XIX. Entonces, la metodología de la geometría fue adoptada por el álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió cambios radicales a través de la obra Fundamentos de Geometría de D. Hilbert. En los Elementos, los axiomas son verdades evidentes por lo cual no necesitan de una demostración que los justifique como tales. En consecuencia, lo que podamos deducir de ellos, tendrá también el carácter de verdad que tienen los axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene en cuenta el carácter de verdad de los axiomas; lo fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan entre sí. Por ejemplo, no debe haber, además del axioma de unicidad de la paralela por un punto exterior a una recta, otro axioma que afirme o del cual pudiera deducirse, la existencia de más de una paralela por un punto exterior a una recta. Los resultados que se deduzcan de los axiomas, tendrán el carácter de deducciones pero no un valor asociado de verdad.

LA VERDAD ---------------- > LA CONSISTENCIA

Este esquema sugiere la transformación que sufrió la axiomatización de Euclides en manos de Hilbert: una extracción del significado de los términos y proposiciones de la geometría y su correspondiente sustitución por el criterio lógico de la consistencia. Este proceso de desustanciación de la geometría, en el que ya no importa la naturaleza de los objetos de los que se habla sino la coherencia del discurso, corresponde a un movimiento general en la matemática del siglo XIX.

Geometría y desustanciación

La obra de Hilbert sobre los fundamentos de la geometría apareció como consecuencia de un movimiento general de la matemática: la búsqueda de fundamentos de naturaleza analítica para esta disciplina. Se partió de una idea expresada por Hilbert sobre los axiomas de una teoría: lo realmente importante no son los significados (interpretaciones) que podamos asociar a tales axiomas sino la coherencia que ellos mantengan entre sí. Los axiomas juegan el papel de definiciones implícitas de los términos de la teoría que vienen mencionados en estos axiomas. Entonces, según Hilbert, no importa lo que son los puntos, las líneas y los planos; lo que importa son las relaciones entre ellos que vienen dadas por los axiomas. El libro de Courant--Robbins ¿Qué es la Matemática?, expresa este punto de vista de manera espléndida:

"A través de los tiempos los matemáticos consideraron sus objetos--números, puntos etc.--como cosas sustanciales en sí. Pero en vista de que aquellos desafiaban una descripción adecuada, los matemáticos del siglo pasado llegaron a la convicción de que el problema de la significación de dichos objetos como cosas sustanciales no tenía sentido dentro de la matemática. Las únicas proposiciones relativas a ellos que importan son las que expresan las relaciones mutuas entre objetos indefinidos: su estructura y relaciones... la percepción de la necesidad de la desustanciación de los objetos matemáticos ha sido uno de los resultados más fecundos del desarrollo axiomático moderno"

Dos procesos pueden ser identificados como cruciales para desencadenar el programa de desustanciación impulsado por Hilbert. Uno, la fundación de las geometrías no-euclidianas. Con el advenimiento de la geometría de Lobachevsky, quedó inaugurado un nuevo camino para la geometría: la geometría como representación de un espacio posible. En otros términos, el paso de Euclides a Lobachevsky es el paso de la geometría de los objetos a la geometría de las estructuras.

El problema de decidir si el espacio es euclideo ya no es más un problema de la geometría sino de la física. La geometría suministra modelos, no representaciones icónicas del espacio. Hay otro punto de vista desde el cual puede generarse una novedosa interpretación del formalismo hilbertiano. Es la debida a Thom:

La gran lección de Hilbert consiste en mostrarnos que la formalización absoluta sólo es posible al costo de la extracción total del significado (del sistema axiomático del que estemos dando cuenta)

Podemos decir entonces que el formalismo es la condición mediante la cual la acción queda separada del significado.

La demostración del V postulado

Hemos visto los extremos de una historia. Digámoslo así: todo comenzó con Euclides y terminó con Hilbert. Este camino es el que lleva de la verdad a la consistencia.

La ciencia griega representa el resultado de una actividad cognitiva sobre lo empírico. Está vinculada prioritariamente a la abstracción empírica. La ciencia de Hilbert es resultado de una reflexión sobre una ciencia ya constituida, cada concepto es resultado de una reflexión sobre el contexto total del concepto. Es resultado de una abstracción reflexiva.

Entonces, la geometría griega trata de descubrir verdades ocultas mediante un razonamiento deductivo íntimamente vinculado a la ontología. Esta característica subsiste durante siglos y puede verse cómo influye en la estructura de los razonamientos que buscan demostrar el V postulado. Consideremos un ejemplo: Wallis (1616-1703). Su estrategia se apoya en la existencia de triángulos semejantes. Uno de los postulados de Euclides nos dice que con cualquier centro y cualquier radio puede trazarse una circunferencia. En particular pueden trazarse diferentes circunferencias concéntricas. Dado que los triángulos son figuras aún mas simples, esta observación hace plausible suponer la existencia de triángulos semejantes. Esto es parte de la ontología subyacente a la geometría.

La demostración de Wallis es como sigue: dado el punto P exterior a la recta l constrúyase la paralela m a l por P.

es perpendicular tanto a l como a m (Q en l). Sea n otra recta distinta a m y a la recta determinada por , que pase por P. Tómese R sobre n, entre m y l  y  sobre m tómese S el pie de la perpendicular  a m. Considerando el triángulo PSR y el lado debe existir un punto T de modo que el triángulo PQT sea semejante al triángulo PSR. Se concluye que el rayo PR coincide con el rayo PT. Es decir T está sobre el rayo PR. Por otro lado, el ángulo PQT es recto. Entonces T está en la intersección de l y n. Es decir la única paralela a l por P es m.

Llevando el análisis más lejos podemos demostrar a su vez, que la existencia de triángulos semejantes se sigue del V postulado. Como son lógicamente equivalentes, la prueba de Wallis sufre del mal de petición de principio. El mal del que sufren todas las demostraciones del V postulado cuando se tratan de realizar desde los otros cuatro postulados de Euclides. Esto es lo que llevó a Lobachevsky a declarar en sus Nuevos Principios de la Geometría (1835):

Es bien conocido que hasta la fecha la Teoría de las Paralelas ha permanecido incompleta. Los esfuerzos infructuosos hechos desde tiempos de Euclides y a lo largo de un periodo de más de dos mil años, me han convencido de que los conceptos involucrados en esta investigación no contienen la verdad de lo que se desea demostrar; que para establecerla se necesita el apoyo del experimento, por ejemplo de observaciones astronómicas, como es el caso con otras leyes de la naturaleza.

Este párrafo muestra de modo convincente que hacia 1835 estaba clara la independencia lógica del V postulado de los restantes de la geometría euclidiana, y que se había producido una ruptura en la interpretación que la tradición había impuesto entre la geometría y el espacio físico.

Consecuencias: hacia la estructura

Hasta el siglo XIX la matemática podía apoyarse tanto en la geometría como en el álgebra para buscar sustentación a sus afirmaciones. La toma de conciencia de que el contenido de verdad quedaba sustituído por la consistencia del modelo, volcó los esfuerzos hacia la aritmética. ¿Habría allí la fuente de verdad que parecía necesaria para continuar el trabajo matemático? Veamos la situación que prevalecía en el cálculo. Desde Galileo y Newton, una de las tradiciones generadoras del cálculo extrajo, del contexto geométrico del estudio dinámico del movimiento, las reglas de operación del nuevo cálculo. El libro de Polya, Matemáticas y Razonamiento Plausible reproduce de modo por demás brillante, varios ejemplos de esto. Aquí, sin embargo, no puede hablarse de una actitud totalmente anclada en el pensamiento empirista pues en el estudio del movimiento aparece un concepto que no pudo ser extraído de allí: el concepto de velocidad instantánea.

El desarrollo del cálculo, del cálculo infinitesimal, siguió las líneas que le eran posibles con este sustento conceptual. Desde luego hubo momentos de crisis como el que se dió alrededor del problema de la cuerda vibrante y que en el fondo reflejó una incapacidad del cálculo, hasta ese momento, para modelar el movimiento de un continuo. Pero el momento de crisis que nos interesa registrar se dió durante el siglo XIX.

Es cuando Weierstrass publica (1872), gracias a los buenos oficios de su discípulo Paul Du Bois Reymond, su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en ningún punto tienen derivada. Las consecuencias de este resultado son profundas. Hasta entonces, para hablar de una función continua se decía que era aquella cuya gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. Aún hoy en día usamos esta expresión cuando queremos dar una idea informal sobre la continuidad de una función. Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la continuidad en un lenguaje totalmente analítico. Es decir, no era necesario recurrir a las imágenes geométricas, a lo que los dibujos sugerían para poder hablar con precisión sobre la continuidad. La existencia de funciones continuas sin derivadas así lo mostraban, pues tales funciones no se pueden graficar.

Aparecieron desde entonces advertencias sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo. Se dieron demostraciones falsas basadas en dibujos de triángulos, que llevaban a la conclusión de que todos los triángulos son equiláteros, por ejemplo. El ojo era digno de desconfianza, como ha dicho P. Davis.

La crisis no era sólo de carácter metodológico. Las estructuras conceptuales, la continuidad por ejemplo, debieron entonces ser revisadas. Esto nos habla de un cambio en la naturaleza misma del conocimiento. Una vez más el problema de la desustanciación. La toma de conciencia sobre la estructura.

Desde luego, en esta perspectiva se quedan muchas cosas por fuera: unas por la presión del tiempo, otras por mi desconocimiento. Pero creo que lo que sí puede verse, desde los ojos de nuestra teoría--parafraseando a Hanson--es que la idea de demostración está vinculada orgánicamente a la concepción de los objetos de la matemática y que ambos son resultado de una historia.

REFERENCIAS

EuclidesElementos de Euclides, ed. Gredos, Madrid, 1991.
Hilbert, D. Fundamentos de la Geometría,  Madrid, C.S. I. C. 1952.
Courant, R. , Robbins, H. ¿Qué es la Matemática?, ed. Aguilar, Madrid, 1962.
Whiteside, T. Mathematical papers of I. Newton, Cambridge U. Press,   1967.       


               



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