Sobre los principios fundamentales de la Geometría
Intentos de demostración del quinto postulado

Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedratico de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computación
luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es


En el siglo V, Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo: "Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación" de que puesto que cuando las rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados"

El mismo Proclo dio la siguiente demostración del quinto postulado:

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"Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde P a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m. Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se desliza hasta el final de n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en algún momento deberá cruzar l."

Destaquemos dos claros errores en el argumento anterior: En primer lugar, una magnitud puede crecer indefinidamente sin rebasar un tope prefijado. Y en segundo lugar, no podemos presuponer que la distancia entre m y l es constante. Si se dice que son paralelas, son paralelas (no se cortan) y nada más.

La huida de Mahoma de la Meca a Medina en el 622 d. C. inició la época de dominación árabe. En un siglo su influencia se había extendido desde la India hasta Persia, Mesopotamia, Norte de África y España. En el 641 Alejandría cayo bajo el imperio árabe y con el paso del tiempo Bagdad se convirtió en la "nueva Alejandría". Los Califas de Bagdad no sólo gobernaron sabia y correctamente sino que muchos fueron protectores de la cultura invitando a escolares de prestigio a sus cortes. Numerosos trabajos hindúes y griegos en astronomía, medicina y matemáticas fueron diligentemente traducidos al árabe y así se salvaron hasta que posteriormente traductores realizaran versiones en latín y otras lenguas vernáculas. Un ejemplo importante de este proceso de transmisión lo constituye el Codex Vigilamus, que se escribió en Albelda el año 957, y que es el primer manuscrito occidental en el que aparecen las cifras indo-arábigas de nuestro sistema decimal de numeración. Actualmente este manuscrito está depositado en la Biblioteca de San Lorenzo del Escorial.

Uno de los primeros centros de enseñanza occidentales fue el creado por Gerberto (940-1003) en la ciudad francesa de Reims. En su escuela Gerberto enseñaba numerosos métodos de cálculo con la importante novedad de que también empleo los guarismos indo-árabes. Entre los libros escritos por Gerberto citamos su "Geometría" en la que podemos encontrar la siguiente descripción:

"Dos líneas rectas distintas continuamente una de la otra por el mismo espacio y que cuando se prolongan indefinidamente nunca se cortan se denominan paralelas; es decir, equidistantes."

Esta definición de rectas paralelas recoge dos aspectos: El primero, es que no tengan puntos comunes y el segundo que la distancia entre estas sea constante. Hacemos notar que la segunda propiedad no es obvia y su demostración depende del quinto postulado. Desde el 999 hasta el 1003 en el que murió, Gerberto fue el papa romano Silvestre II.

Las matemáticas de los árabes fueron excelentes en álgebra aritmética y trigonometría. La teoría de las paralelas fue también estudiada aunque sin grandes resultados. Ibn-al-Haitham (en torno a 965-1039), conocido como Alhazen en Occidente, dio una demostración del quinto postulado argumentando que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también es recto el cuarto. En su demostración supuso que el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta dada era de nuevo una recta. Cayó en la trampa de la línea equidistante. La simple afirmación de que existan dos rectas equidistantes es equivalente al quinto postulado. Por otro lado, la propiedad que afirma que en un cuadrilátero si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto, es también equivalente al quinto postulado.

Para los árabes el nombre de Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) es conocido por sus contribuciones en astronomía y álgebra. Los esfuerzos de Omar en la teoría de las paralelas se pueden encontrar en "La Verdad de las Paralelas y Discusión sobre la famosa duda" que es la parte I de su Discusión sobre las dificultades de Euclides. Omar Khayyam estudió, 600 años antes que Saccheri, cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con CD y los ángulos en A y en D son rectos.

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Probó que los ángulos superiores del cuadrilátero eran congruentes. También demostró que la perpendicular por el punto medio de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el cuadrilátero anterior la longitud del BC es mayor que la de AD si y sólo si el ángulo en B es agudo; BC es congruente a AD si y sólo si el ángulo en B es recto y BC es mayor que AC si y sólo si el ángulo en B es obtuso. La posibilidad de que este ángulo fuera agudo o obtuso fue negada a partir del argumento de que "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es por lo menos lo que en verdad los filósofos piensan."

Mencionaremos también al astrónomo árabe Nasir Eddin (1201-1274) que trabajó para Hulagu Khan, hermano de Kublai Khan y nieto de Genghis Khan. Realizó una versión de los Elementos de Euclides y entre las proposiciones 28 y 29 dio una demostración del quinto postulado. Supuso incorrectamente que si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso. De nuevo encontramos una propiedad que se verifica en geometría euclidiana y que en geometría absoluta es equivalente al quinto postulado.

Probablemente el primer occidental que analizó el postulado de las paralelas fuera el rabí de Aviñon conocido por Gersónides(1288-1344) que trabajó con cuadriláteros equiláteros y equiángulos. Aquí tenemos que la proposición que afirma que los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos es también equivalente al quinto postulado.

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Posteriormente, ya a través de una imprenta, Clavio realizó una edición comentada de los Elementos de Euclides en la ciudad de Roma en 1584. En esta edición a las 468 proposiciones de Euclides se añadieron 671 más de su propia invención creando un universo de 1234 proposiciones. Se realizó incluso una edición china (1603-1607) de la primera parte de esta versión comentada de Clavio. Mencionaremos que posteriormente tanto Saccheri como Descartes aprendieron geometría de la edición de Clavio. En su versión monumental, Clavio, llamado por algunos el Euclides del siglo XVI, también incluyó una demostración del quinto postulado en la que otra vez se utilizaba el argumento erróneo de que una línea equidistante a una línea recta es una recta.

John Wallis (1616-1703) siendo profesor de la Universidad de Oxford se interesó en el trabajo de Nasir Eddin, y tradujo al latín los comentarios del astrónomo persa sobre las paralelas. Como consecuencia de este interés, John Wallis dio una nueva demostración en el año 1663. Para ello Wallis presuponía que dado un triángulo siempre existían triángulos similares a éste y no congruentes. Sin embargo, esta afirmación es equivalente al quinto postulado.

Mención especial requiere el italiano Girolamo Saccheri (1667-1733). Éste ingresó en los Jesuitas a los 23 años, fue profesor de Teología en un Colegio Jesuita de Milán, posteriormente enseño filosofía en Turín. Más tarde fue profesor de Matemáticas en la Universidad de Pavía. En este periodo aplicó su método favorito "la reducción al absurdo" para probar el quinto postulado. Saccheri estudió cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con DC y los ángulos en A y D son rectos, exactamente iguales que los que había estudiado Omar Khayyam.

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En los cuadriláteros que denominaremos de Saccheri existen tres casos posibles:

  • 1 ) Los ángulos en B y C son rectos.
    2 ) Estos ángulos son obtusos.
    3 ) Dichos ángulos son agudos.

En las condiciones habituales de la geometría absoluta, se puede probar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero de Saccheri es menor o igual que dos llanos. Así que el segundo caso queda descartado. Sin embargo, por mucho que lo intentó, no consiguió llegar a una contracción suponiendo que se verificara el tercer caso. Por esta razón la llamo la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Saccheri probó numerosos resultados de la geometría no euclidiana. En particular citemos el siguiente resultado:

Proposición IX. Bajo las hipótesis del Ángulo Recto, Ángulo Obtuso o Ángulo Agudo, respectivamente se tiene que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, mayor que dos rectos o menor que dos rectos.

También probó que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, dada una recta y un punto exterior, en el haz de rectas que pasan por el punto exterior existen dos rectas asintóticas que dividen al haz en dos partes, en una parte están las rectas que cortan a la recta dada y la otra, las rectas que no la cortan. El ángulo pi(AB) formado por la recta AB y una de las semirectas asintóticas se llama ángulo de paralelismo asociado a la distancia AB.

Observemos que la geometría resultante cuando consideramos la hipótesis el Ángulo Agudo no es compatible con el quinto postulado y aparecen proposiciones diferentes a las de la geometría euclidiana. Recordemos que la Proposición 29 de los Elementos asegura que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos.

No obstante, la conclusión final de su trabajo se basa más en la intuición y en su creencia en la validez del quinto postulado que en la lógica. Su argumento final se apoya en la afirmación de que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo se pueden construir dos rectas paralelas distintas que tendrían una perpendicular común en el punto del infinito, lo que es contrario a la naturaleza de la línea recta. Es decir que la hipótesis del Ángulo Agudo es falsa porque repugna la naturaleza de la línea recta.

Ciertamente, Saccheri había probado muchos teoremas de la geometría no euclidiana pero no fue capaz de valorar el tesoro que había encontrado. Lo desechó a causa de su fe ciega en la validez del quinto postulado.

El fruto de sus investigaciones fue recogido en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus. Saccheri murió el 25 de Octubre de 1733; poco antes, había recibido el permiso, para imprimir el citado libro, de la Inquisición con fecha 13 de Julio y del Provincial de los Jesuitas con fecha 16 de Agosto. El libro de Saccheri atrajo una considerable atención en el tiempo de su publicación. En las historias de matemáticas realizadas en Alemania y Francia durante el siglo XVIII se menciona dicho libro. Sin embargo, en Francia e Italia pronto se olvidó esta obra aunque no ocurrió lo mismo en Alemania.

Posteriormente, el suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777) escribió la obra Die Theorie der Parallellinien (La teoría de las Paralelas) que se publicó después de su muerte. En su trabajo Lambert se preguntó si el quinto postulado se podría deducir a partir de los demás o si sería necesaria alguna hipótesis adicional. Después dio diferentes afirmaciones que necesitaban ser probadas pero que implicaban el quinto postulado. En la parte final consideró cuadriláteros pero con tres ángulos rectos. De nuevo tenía las tres hipótesis posibles respecto al cuarto ángulo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Lambert probó que el área de un triángulo es proporcional a su defecto, que es la diferencia entre un llano y la suma de sus ángulos interiores.

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Observemos aquí la diferencia del área de un triángulo establecida en la Proposición 41 de los Elementos como la mitad de un rectángulo con la misma base que el triángulo y su misma altura. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo existe una cota superior constante de modo que el área de cualquier triángulo es siempre más pequeña que esa cota superior. En la geometría euclidiana esa área se puede hacer tan grande como queramos. En la geometría no euclidiana los triángulos con área pequeña tienen ángulos interiores cuya suma es próxima a dos rectos y en los triángulos de área grande la suma de los ángulos será tan pequeña como deseemos.

También conjeturó que la hipótesis del Ángulo Agudo se podría verificar en una esfera de radio imaginario puro. Quizás llegó a esta conclusión al analizar la fórmula (A+B+C-pi)r2 que determina el área de un triángulo esférico de ángulos A, B y C en una esfera de radio r. Si se toma como radio r=si, donde i es el imaginario puro, se obtiene que el área sería s2 (pi -A-B-C) es decir el área sería proporcional al defecto.

Adrian Marie Legendre (1752-1833) fue un eminente y quizás el más infatigable en la búsqueda de la demostración del quinto postulado. Sus varios intentos aparecieron en las doce ediciones de sus "Élements de géométrie" desde 1794 hasta 1823. Su monografía "Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle" apareció en 1833, véase [15], cien años después de la publicación del libro de Saccheri. Aunque la publicación del libro de Saccheri produjo curiosidad, sus contenidos no eran muy conocidos, de modo que en sus trabajos aparece de nuevo el resultado de que en geometría absoluta la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual que dos rectos; también prueba que si existe un triángulo cuyos ángulos suman dos rectos, entonces todos los triángulos tienen esa propiedad. Estos resultados ya habían sido probados en el libro de Saccheri que a su vez contenía resultados ya probados por Omar Khayyam. Después de sus variadas demostraciones e investigaciones, Legendre pensó que finalmente había removido las dificultades de la fundamentación de la geometría. En sustancia, sin embargo, no aportó nada a los resultados obtenidos por sus predecesores en la teoría de las paralelas.

Del análisis basado en comentarios de historiadores antiguos, manuscritos y libros impresos antiguos se desprende:

Que son muy numerosos los intentos que desde el siglo III a. C. hasta el siglo XIX se realizaron para probar el quinto postulado de Euclides. Estos estudios los realizaron personas de distintas religiones y culturas. Recordemos al rabí Gersónides con sus cuadriláteros equiláteros y equiángulos, al musulmán Omar Khayyam o al jesuita Girolamo Saccheri.

Que todas las demostraciones contenían algún fallo que normalmente consistía en una afirmación que es correcta en geometría euclidiana y que en cierto sentido parece que sea algo evidente que no sea preciso demostrar. Algunas de estas "verdades evidentes" que de modo erróneo se utilizaron para purificar los fundamentos de la geometría son las siguientes:

  • "existen dos rectas equidistantes"
    "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae"
    "una línea equidistante a una línea recta es una recta"
    "en un cuadrilátero, si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto"
    "si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D y AB es congruente con DC, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso"
    "los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos"
    "existen dos triángulos similares pero no congruentes"
    "dado un triángulo siempre existen triángulos similares a éste y no congruentes"
    "por un punto que no esté en una recta dada pasa una única paralela"
    "por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia"
    "la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos"

Todas estas afirmaciones y otras muchas más en la geometría absoluta son equivalentes al quinto postulado. Es decir, que se puede sustituir el quinto postulado por una cualquiera de ellas. En este caso la afirmación elegida adquiere el carácter de postulado, el quinto postulado abandona su carácter axiomático para convertirse en una proposición que necesita demostración y también serán proposiciones o teoremas el resto de las afirmaciones.

Especial mención requieren los resultados obtenidos por Saccheri, que indudablemente son los primeros resultados de importancia en la geometría no euclidiana. El método de trabajo de Saccheri de que negando el quinto postulado se acabaría encontrado una contradicción abrió la puerta al descubrimiento de la geometría no euclidiana. Realmente Saccheri había descubierto la geometría no euclidiana pero su fe ciega de que la verdad del quinto postulado lo llevó a recurrir a falacias más o menos elaboradas para que la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo se destruyera a sí misma.

No sabemos si Saccheri o Lambert hicieron experimentos realizando mediciones de los ángulos interiores de un triángulo. No obstante, el margen de error de los instrumentos de medición angular de la época les dejaba un margen suficientemente grande para poder haber asegurado que también existía una geometría en la que la suma de los ángulos de un triángulo era menor que dos rectos. No lo afirmaron porque pensaban que no podía existir más que una geometría correcta para describir el espacio, la euclidiana.


Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedratico de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computación
luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es




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